每日一题[844]抓住分界点

若对任意锐角$x$，均有$\sin x+\tan x-2x>mx^2$，求实数$m$的取值范围．

正确答案是$(-\infty,0]$．

考虑函数$f(x)=\sin x+\tan x-2x-mx^2$，则其导函数 $$f'(x)=\cos x+\dfrac{1}{\cos^2x}-2-2mx,$$ 其二阶导函数 $$f''(x)=-\sin x+\dfrac{2\sin x}{\cos^3x}-2m,$$ 因此$f(0)=f'(0)=0$，$f''(0)=-2m$，得到$m$的讨论分界点为$0$．

情形一　$m\leqslant 0$．此时$f(x)\geqslant \sin x+\tan x-2x$，设右侧函数为$\varphi(x)$，则其导函数 $$\varphi'(x)=\cos x+\dfrac{1}{\cos^2x}-2.$$ 当$x\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$时，$\varphi(x)$单调递增，因此$\varphi(x)>\varphi(0)=0$,符合题意．

情形二　$m>0$．此时$f''(0)=-2m<0$，结合当$x\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$时$f''(x)$单调递增（因为$f'''(x)=\dfrac {2-\cos^5 x+4\sin^2 x}{\cos^4 x}>0$），且 $${x\to \left({\frac{\pi}2}\right)^-},f''(x)\to +\infty,$$ 于是$f''(x)$在$\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$上有零点，设为$a$．

在$(0,a)$上，$f'(x)$单调递减，结合$f'(0)=0$，可得在$(0,a)$上，$f(x)$单调递减，又$f(0)=0$，因此在$(0,a)$上，$f(x)<0$，不符合题意．

综上所述，实数$m$的取值范围是$(-\infty,0]$．