每日一题[841]数形结合

设函数$f(x)=-x^2+bx+|x-a|$，$a,b\in\mathbb R$，若对任意的实数$a$，关于$x$的方程$f(x)=a+1$至多有两个不同的解，求实数$b$的取值范围．

正确答案是$\left(-\infty,1-2\sqrt 2\right]\cup (-1,3)\cup \left[1+2\sqrt 2,+\infty\right)$．

分析与解　函数$f(x)$即 $$f(x)=\begin{cases}-x^2+(b-1)x+a,&x<a,\\ -x^2+(b+1)x-a,&x\geqslant a.\end{cases}$$
考虑问题的反面，存在实数$a$，使得方程$f(x)=a+1$有至少$3$个解，求实数$b$的取值范围．

情形一　当$a\notin \left(\dfrac{b-1}2,\dfrac{b+1}2\right)$时，函数$f(x)$先单调递增后单调递减，至多有$2$个实数解；

情形二　当$a\in \left(\dfrac{b-1}2,\dfrac{b+1}2\right)$时，函数的图象为形如“m”,此时只要 $$f(a)\leqslant a+1\leqslant \min\left\{f\left(\dfrac{b-1}2\right),f\left(\dfrac{b+1}2\right)\right\},$$ 即 $$-a^2+ab\leqslant a+1\leqslant \min\left\{a+\dfrac 14(b-1)^2,-a+\dfrac 14(b+1)^2\right\},$$ 利用规划处理，不等式组为 $$\begin{cases}\dfrac 12b-\dfrac 12<a<\dfrac 12b+\dfrac 12,\\ b\leqslant -1\ \lor\ b\geqslant 3,\\ a\leqslant \dfrac 18(b+1)^2-\dfrac 12,\end{cases}$$ 且当$a>0$时，$b\leqslant a+\dfrac 1a+1$，当$a<0$时，$b\geqslant a+\dfrac 1a+1$，所以点$(b,a)$在双曲线$x=y+\dfrac 1y+1$外部，如图．

因此$b$的取值范围是$\left(1-2\sqrt 2,-1\right]\cup \left[3,1+2\sqrt 2\right)$．

回到原题，所求的取值范围是$\left(-\infty,1-2\sqrt 2\right]\cup (-1,3)\cup \left[1+2\sqrt 2,+\infty\right)$．