每日一题[833]物尽其用

定义在$\mathbb R$上的奇函数$f(x)$满足$f(2+x)=f(2-x)$，当$x\in [0,2]$时，$f(x)=-4x^2+8x$．若在区间$[a,b]$上，存在$m(m\geqslant 3)$个不同的整数$x_i$(其中$i=1,2,\cdots,m$)满足$\displaystyle \sum_{i=1}^{m-1}{\left|f(x_i)-f(x_{i+1})\right|}\geqslant 72$，求$b-a$的最小值．

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正确答案是$16$．

分析与解　函数$f(x)$的图象在一个周期内的图象如图．

为了使得$S=\displaystyle \sum_{i=1}^{m-1}{\left|f(x_i)-f(x_{i+1)})\right|}$尽可能大，应该让相邻的函数值$f(x_i)$尽可能交替取$4$和$-4$，因此取

$$x_i:1,-1,3,-3,5,-5,7,-7,9,-9,\cdots$$ 注意到在序列最前和最后各增加一个函数值为$0$的整点(加在序列中对求和没有贡献)可以获得额外的$S$．于是取 $$x_i:0,1,-1,3,-3,5,-5,7,-7,9,2$$ 就得到了$S=72$．此时$x_i\in [-7,9]$($i=1,2,\cdots,m$)，这样就得到了$b-a=16$的例子．

接下来证明$b-a$不能取得比$16$更小的值．若$b-a<16$，则区间$[a,b]$内函数值为$\pm 4$的整数$x$不超过$8$个，显然此时

$$S\leqslant 4+7\times 8+4=64,$$ 不符合题意．

综上所述，$b-a$的最小值为$16$．