每日一题[830]正三角形遇到抛物线

已知正$\triangle ABC$的顶点$A,B$在抛物线$y^2=4x$上，另一个顶点$C(4,0)$，求符合题意的正三角形$\triangle ABC$的个数．

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正确答案是$4$．

分析与解　情形一　当$AB$与$x$轴垂直时，显然有$2$个符合题意的正三角形．

情形二　当$AB$与$x$轴不垂直时，设$A(4a^2,4a)$，$B(4b^2,4b)$，且$a<b$，则直线$AB$的方程为

$$x-(a+b)y+4ab=0,$$ 线段$AB$的垂直平分线为 $$(a+b)x+y-2(a+b)(a^2+b^2+1)=0,$$ 考虑到$C(4,0)$，因此$a^2+b^2=1$．此时有 $$|AB|=4|a-b|\cdot \sqrt{(a+b)^2+1}=4\sqrt 2\cdot |a-b|\cdot\sqrt{ab+1},$$ 而$C$到直线$AB$的距离 $$d=\dfrac{4|ab+1|}{\sqrt{(a+b)^2+1}}=2\sqrt{2}\cdot \sqrt{ab+1}.$$ 根据题意，有$d=\dfrac{\sqrt 3}2|AB|$，于是 $$1=\sqrt 3 \cdot |a-b|,$$ 两边平方，将$a^2+b^2=1$代入，有$ab=\dfrac 13$．考虑到 $$\begin{cases}a^2+b^2=1,\\ ab=\dfrac 13,\end{cases}$$ 有$2$组不同的解，对应$2$个符合题意的正三角形．

注　情形一的两组解为

$$\begin{cases}A\left(10-2\sqrt{21},2\sqrt 3-2\sqrt 7\right),\\B\left(10-2\sqrt{21},2\sqrt 7-2\sqrt 3\right),\end{cases}$$ 及 $$\begin{cases}A\left(10+2\sqrt{21},2\sqrt 3+2\sqrt 7\right),\\ B\left(10+2\sqrt{21},-2\sqrt 3-2\sqrt 7\right).\end{cases}$$ 情形二的两组解为 $$\begin{cases}A\left(\dfrac{6-2\sqrt{5}}{3},\dfrac{2\sqrt{15}-2\sqrt 3}{3}\right),\\B\left(\dfrac{6+2\sqrt{5}}{3},\dfrac{2\sqrt{15}+2\sqrt 3}{3}\right),\end{cases}$$ 及 $$\begin{cases}A\left(\dfrac{6-2\sqrt{5}}{3},-\dfrac{2\sqrt{15}-2\sqrt 3}{3}\right),\\ B\left(\dfrac{6+2\sqrt{5}}{3},-\dfrac{2\sqrt{15}+2\sqrt 3}{3}\right).\end{cases}$$