每日一题[823]心中有数

已知$a,b,c\in \mathbb R$，若$|a\cos^2x+b\sin x+c|\leqslant 1$对$x\in\mathbb R$恒成立，则$|a\sin x+b|$的最大值．

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正确答案是$2$．

分析与解　我们知道，当$x\in\mathbb R$时，$|a\sin x+b|$的最大值为$|a|+|b|$．而已知条件即

$$\forall x\in\mathbb R,|-a\sin^2x+b\sin x+a+c|\leqslant 1,$$ 也即函数$f(x)=-ax^2+bx$在$[-1,1]$上的值域宽度不超过$2$．考虑到 $$\begin{aligned}f(-1)&=-a-b,\\ f(0)&=0,\\f(1)&=-a+b,\end{aligned}$$ 于是有 $$|a+b|,|a-b|\leqslant 2,$$ 因此$|a|+|b|\leqslant 2$．

而当$a=2$，$b=0$时，$f(x)=-2x^2$满足要求，此时$c=-1$，

$$|2\cos^2 x-1|=|1-2\sin^2 x|=|\cos{2x}|\leqslant 1,$$ 所以$|a|+|b|=2$可以取到，因此所求最大值为$2$．