每日一题[819]切线放缩

已知$x_1\ln x_1=x_2\ln x_2=a$($x_1< x_2$)，${\rm e}$是自然对数的底．求证：$x_2-x_1<2a+1+{\rm e}^{-2}$．

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分析与证明　设函数$f(x)=x\ln x$，则其导函数

$$f'(x)=1+\ln x.$$ 取其在$x={\rm e}^{-2}$和$x=1$处的切线，分别为$l_1:y=-x-{\rm e}^{-2}$和$l_2:y=x-1$，如图．

直线$y=a$与直线$l_1$，函数$f(x)$的图象和直线$l_2$分别交于$x_1',x_1,x_2,x_2'$，则有

$$x_1'<x_1<x_2<x_2',$$ 因此有 $$x_2-x_1<x_2'-x_1'=(a+1)-(-a-{\rm e}^{-2})=2a+1+{\rm e}^{-2}.$$

注1　类似的，我们还可以用割线$y=-x$和$y=\dfrac{1}{{\rm e}-1}(x-1)$来估计$x_2-x_1$的下界，如图．
注2　我们也可以利用函数图象的外接曲线得到更加精确的界，例如用$y=\dfrac 12(x-1)^2+x-1$和$y=-\dfrac{2}{\rm e}\cdot \sqrt x$，如图．