每日一题[817]椭圆内接三角形

已知$A$是椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)的下顶点，若以$A$为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形有且仅有$3$个，求椭圆离心率$e$的取值范围．

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分析与解　将坐标系$xOy$的原点平移到$A$，则椭圆方程变为

$$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{(y-b)^2}{b^2}=1,$$ 即 $$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{2}{b}y+\dfrac{y^2}{b^2}=0.$$ 此时不妨设以$A$为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形为$\triangle ABC$，且$B(\theta:r)$，$C\left(\theta+\dfrac{\pi}2:r\right)$，其中$\theta$是第一象限的角．代入椭圆方程，可得 $$\begin{cases}\dfrac{r^2\cos^2\theta}{a^2}-\dfrac {2r\sin\theta}b+\dfrac{r^2\sin^2\theta}{b^2}=0,\\\dfrac{r^2\sin^2\theta}{a^2}-\dfrac{2r\cos\theta}b+\dfrac{r^2\cos^2\theta}{b^2}=0,\end{cases}$$ 根据题意，这个关于$(r,\theta)$的方程组有且仅有$3$组解．该方程组等价于 $$r=\dfrac{\dfrac{2\sin\theta}b}{\dfrac{\cos^2\theta}{a^2}+\dfrac{\sin^2\theta}{b^2}}=\dfrac{\dfrac{2\cos\theta}{b}}{\dfrac{\sin^2\theta}{a^2}+\dfrac{\cos^2\theta}{b^2}},$$ 于是 $$(\sin\theta-\cos\theta)\left(\dfrac{1+\sin\theta\cos\theta}{a^2}-\dfrac{\sin\theta\cos\theta}{b^2}\right)=0,$$ 即 $$\theta=\dfrac{\pi}4,{\text{或}\ }\sin 2\theta=\dfrac{2b^2}{a^2-b^2},$$ 这就意味着当$\dfrac{2b^2}{a^2-b^2}<1$时符合题意，也即$e>\dfrac{\sqrt 6}3$时符合题意．

综上所述，椭圆离心率$e$的取值范围是$\left(\dfrac{\sqrt 6}3,1\right)$．