每日一题[812]规律探究

各项均为正整数的数列$\left\{a_n\right\}$，满足$a_{n+1}=a_n+b_n$，其中$b_n$是$a_n$的末位数字，下列关于数列$\left\{a_n\right\}$的说法正确的是(        )

A．如果$a_1$是$5$的倍数，那么数列$\left\{a_n\right\}$与数列$\left\{2^n\right\}$必有相同的项
B．如果$a_1$不是$5$的倍数，那么数列$\left\{a_n\right\}$与数列$\left\{2^n\right\}$必没有相同的项
C．如果$a_1$不是$5$的倍数，那么数列$\left\{a_n\right\}$与数列$\left\{2^n\right\}$只有有限个相同的项
D．如果$a_1$不是$5$的倍数，那么数列$\left\{a_n\right\}$与数列$\left\{2^n\right\}$有无穷多个相同的项

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正确答案是D．

分析与解　如果$a_1$是$5$的倍数，那么$\{b_n\}$为$0,0,0,\cdots$或$5,0,0,\cdots$，而$2$的方幂不可能以$5$或$0$结尾，因此$\{a_n\}$中的任何一项都不在数列$\{2^n\}$中；如果$a_1$不是$5$的倍数，那么$\{b_n\}$从第二项起必然进入$2,4,8,6,2,4,8,6,\cdots$的循环(进入时的数字和$b_1$有关)，必然存在$a_m=4k$，其中$k\in\mathbb N^*$．此时取与$2k$尾数相同的$2$的方幂，设为$2^p$，则有

$$2^p=10q+2k,$$ 其中$p,q\in\mathbb N^*$．这样就有 $$a_m=4k=2^{p+1}-20q,$$ 也就是说$a_m$经过$q$轮$+2+4+8+6$后必然得到$2^{p+1}$．由于符合要求的$p$有无穷多个，因此数列$\left\{a_n\right\}$与数列$\left\{2^n\right\}$有无穷多个相同的项．

注　本题解决思路是：循环一次($+2+4+8+6$)后，数列中的数增加$20$，如果每次增加的是$10$，那么只要找个位数相同的$2$的较大的方幂即可．现在考虑将所有的数除以$2$再寻找个位数相同的$2$的方幂，对原来的数先做一个筛选，即选择$4$的倍数，这样除以$2$之后尾数仍然为$2,4,6,8$中的某个，问题解决．