每日一题[806]齐次化

已知正实数$x,y$满足$x^3+2y^3=x-y$，求使$x^2+ky^2\leqslant 1$恒成立的$k$的最大值．

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正确答案是$2+2\sqrt 3$．

分析与解　根据题意，有

$$x-y=x^3+2y^3>0,$$ 于是 $$(x^2+ky^2)(x-y)\leqslant x^3+2y^3,$$ 即 $$-x^2y+kxy^2-ky^3\leqslant 2y^3,$$ 也即 $$k\leqslant \dfrac{t^2+2}{t-1},$$ 其中$t=\dfrac xy$，$t>1$．而 $$\dfrac{t^2+2}{t-1}=t-1+\dfrac{3}{t-1}+2\geqslant 2+2\sqrt 3,$$ 等号当$t=1+\sqrt 3$时取得．因此所求$k$的最大值为$2+2\sqrt 3$．