每日一题[90] 构造函数估计对数值

2014年高考湖北卷理科数学第22题、文科数学第21题: e33eπeeπ3ππ3从小到大排列.


cover首先由同底数及同指数幂的比较方法可得3e<πe<π3.

考虑到比较abba的大小关系即比较lnaalnbb的大小关系,因此构造辅助函数f(x)=lnxx. 如图为函数f(x)=lnxx的图象,它在(0,e)上单调递增,在(e,+)上单调递减,在x=e处取得最大值. 未命名-1 于是我们有1e>ln33>lnππ,
于是可得e3>3eeπ>πe3π>π3,
结合之前已经得到的大小关系,可以画数轴如下: QQ20150412-2 接下来的任务就是比较e3πe的大小关系以及eππ3的大小关系.与之前的手段类似,就是比较lnπ3e以及π3的大小关系.考虑到3e=1.10...
以及π3=1.04...
因此问题的关键在于如何估计lnπ的大小. 为了引入π而不将3卷入其中,考虑e2π<e,
于是lne2πe2π<1e,
lnπ>2eπ>1.12,
因此lnπ>3elnπ>π3,
进而e3<πeeπ<π3,
因此3e<e3<πe<eπ<π3<3π.

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每日一题[90] 构造函数估计对数值》有一条回应

  1. 刘艳辉说:

    这题应该是湖北的,不是四川的

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