每日一题[90] 构造函数估计对数值

2014年高考湖北卷理科数学第22题、文科数学第21题： 将\({\mathrm e}^3\)，\(3^{\mathrm e}\)，\(\pi^{\mathrm e}\)，\({\mathrm e}^\pi\)，\(3^\pi\)，\(\pi^3\)从小到大排列．

首先由同底数及同指数幂的比较方法可得\[3^{\mathrm e}<{\pi}^{\mathrm e}<{\pi}^3.\] 考虑到比较\(a^b\)与\(b^a\)的大小关系即比较\(\dfrac{\ln a}{a}\)与\(\dfrac{\ln b}{b}\)的大小关系，因此构造辅助函数\(f(x)=\dfrac{\ln x}{x}\)． 如图为函数\(f(x)=\dfrac{\ln x}{x}\)的图象，它在\((0,{\mathrm e})\)上单调递增，在\(({\mathrm e},+\infty)\)上单调递减，在\(x={\mathrm e}\)处取得最大值． 于是我们有\[\dfrac{1}{\mathrm e}>\dfrac{\ln 3}{3}>\dfrac{\ln \pi}{\pi},\]于是可得\[{\mathrm e}^3>3^{\mathrm e}\land {\mathrm e}^\pi >{\pi}^{\mathrm e}\land 3^{\pi}>{\pi}^3,\] 结合之前已经得到的大小关系，可以画数轴如下： 接下来的任务就是比较\({\mathrm e}^3\)与\({\pi}^{\mathrm e}\)的大小关系以及\({\mathrm e}^{\pi}\)与\({\pi}^3\)的大小关系．与之前的手段类似，就是比较\(\ln{\pi}\)与\(\dfrac{3}{\mathrm e}\)以及\(\dfrac{\pi}{3}\)的大小关系．考虑到\[\dfrac{3}{\mathrm e}=1.10...\]以及\[\dfrac{\pi}{3}=1.04...\]因此问题的关键在于如何估计\(\ln{\pi}\)的大小． 为了引入\(\pi\)而不将\(3\)卷入其中，考虑\[\dfrac{{\mathrm e}^2}{\pi}<\mathrm e,\]于是\[\dfrac{\ln \dfrac{{\mathrm e}^2}{\pi}}{\dfrac{{\mathrm e}^2}{\pi}}<\dfrac{1}{\mathrm e},\]即\[\ln{\pi}>2-\dfrac{\mathrm e}{\pi}>1.12,\]因此\[\ln{\pi}>\dfrac{3}{\mathrm e}\land \ln{\pi}> \dfrac{\pi}{3},\]进而\[{\mathrm e}^3<{\pi}^{\mathrm e}\land {\mathrm e}^{\pi}<{\pi}^3,\]因此\[3^{\mathrm e}<{\mathrm e}^3<{\pi}^{\mathrm e}<{\mathrm e}^{\pi}<{\pi}^3<3^{\pi}.\]