每日一题[799]换元显神通

已知$x>2y>0$，$\dfrac x2+\dfrac 1y+\dfrac 8{x-2y}=10$，求$x$的最大值．

分析与解　设$x-2y=a$，$2y=b$，$a,b>0$，则 $$\dfrac {a+b}2+\dfrac 2b+\dfrac{8}{a}=10,$$ 于是 $$10(a+b)=\dfrac{(a+b)^2}{2}+\left(\dfrac 8a+\dfrac 2b\right)(a+b)\geqslant \dfrac{(a+b)^2}2+18,$$ 从而可得$a+b\leqslant 18$，等号当 $$\begin{cases}\dfrac {a+b}2+\dfrac 2b+\dfrac{8}{a}=10,\\ a=2b,\end{cases}$$ 即 $$\begin{cases} a=12, \\ b=6,\end{cases}$$ 时可以取得，因此所求的最大值为$18$．