每日一题[798]数列与不等式

已知数列$\{a_n\}$和$\{b_n\}$满足$a_1=2$，$b_n=\dfrac{2(a_n+2)}{a_{n+1}-a_n}$．
(1)若$b_n=4a_n$，求证：$a_n\geqslant \dfrac{n+2}2$；
(2)若$(b_{n+1}-b_n)a_n=2(b_n+2)$且$b_1=3$，求证：$a_n<18$．

分析与解　(1)根据题意，有

$$a_{n+1}=a_n+\dfrac{1}{a_n}+\dfrac 12,$$ 显然有$a_n>0$，从而$a_{n+1}-a_n>\dfrac 12$，结合$a_1=2$可知原命题成立；

进一步，由于

$$a_{n+1}^2=a_n^2+\dfrac{1}{a_n^2}+a_n+\dfrac{1}{a_n}+\dfrac 94,$$ 于是 $$a_{n+1}^2-a_n^2>\dfrac{n+2}2+\dfrac 94=\dfrac{2n+13}4,$$ 于是可得当$n\geqslant 2$时，有 $$a_{n}^2-a_1^2>\dfrac 14n^2+3n-\dfrac{13}4,$$ 于是 $$a_n\geqslant \sqrt{\dfrac 14n^2+3n+\dfrac 34},n\in\mathbb N^*.$$
(2) 根据题意，有 $$\begin{cases}(a_{n+1}-a_n)b_n=2(a_n+2),\\ (b_{n+1}-b_n)a_n=2(b_n+2),\end{cases}$$ 令$x_n=a_n+2$，$y_n=b_n+2$，可得 $$\begin{cases}(x_{n+1}-x_n)y_n=2x_{n+1},\\ (y_{n+1}-y_n)x_n=2y_{n+1},\end{cases}$$ 两式相比，可得 $$\dfrac{(x_{n+1}-x_n)y_n}{(y_{n+1}-y_n)x_n}=\dfrac{x_{n+1}}{y_{n+1}},$$ 也即 $$\dfrac{x_{n+1}-x_n}{x_n\cdot x_{n+1}}=\dfrac{y_{n+1}-y_n}{y_n\cdot y_{n+1}},$$ 从而 $$\dfrac{1}{x_{n+1}}-\dfrac{1}{y_{n+1}}=\dfrac{1}{x_n}-\dfrac{1}{y_n},$$ 于是有 $$\dfrac{1}{x_n}-\dfrac{1}{y_n}=\dfrac 14 -\dfrac 15=\dfrac{1}{20}<\dfrac 1{x_n},$$ 因此$x_n<20$，也即$a_n<18$，命题得证．