每日一题[795]焦点弦长公式

已知椭圆$E:\dfrac{x^2}{81}+\dfrac{y^2}{32}=1$，$F_1,F_2$是$E$的左、右焦点，$AB$是过$F_1$的焦点弦，且$\triangle AF_2B$的面积为$32$，求$|AB|$．

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分析与解　设$AB$的倾斜角为$\theta$，则

$$|AB|=\dfrac{2ab^2}{b^2+c^2\sin^2\theta},$$ 其中$a^2=81$，$b^2=32$，$c^2=49$，因此$\triangle AF_2B$的面积 $$\begin{split} S&=\dfrac 12\cdot \sin\theta \cdot |F_1F_2|\cdot |AB|\\&=\dfrac 12\cdot \sin \theta \cdot 14 \cdot \dfrac{576}{32+49\sin^2\theta}\\&=\dfrac{4032\sin\theta}{32+49\sin^2\theta}\\&=32,\end{split}$$ 解得$\sin\theta =\dfrac{2}{7}$，于是 $$|AB|=\dfrac{576}{32+49\sin^2\theta}=16.$$

注　焦点弦长公式及其推导见焦半径公式及其应用．