每日一题[794]三次方程的根

已知关于$x$的方程$x^3-3x+4=0$的三个根分别为$a,b,c$，求$(a-b)(b-c)(c-a)$的值．

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分析与解　导数方法　根据题意

$$x^3-3x+4=(x-a)(x-b)(x-c),$$ 两边求导可得 $$3x^2-3=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a),$$ 分别令$x=a,b,c$，将得到的式子相乘，可得 $$\left(3a^2-3\right)\left(3b^2-3\right)\left(3c^2-3\right)=-(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2,$$ 即 $$27\cdot (1-a)(1-b)(1-c) \cdot (-1-a)(-1-b)(-1-c)=-(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2,$$ 因此 $$27\cdot \left(x^3-3x+4\right)\left|_{x=1}\right.\cdot\left(x^3-3x+4\right)\left|_{x=-1}\right.=-(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2,$$ 从而可得所求代数式的值为$\pm 18{\rm i}$．

消元方法　根据韦达定理，有

$$a+b=-c,ab=-\dfrac 4c$$ 于是 $$\begin{split} (b-c)(c-a)=&(a+b)c-c^2-ab\\=&-2c^2+\dfrac 4c=\dfrac{-2c^3+4}{c}\\=&-6+\dfrac{12}c=-12\left(\dfrac 12-\dfrac 1c\right).\end{split}$$ 而 $$1-3\cdot \left(\dfrac 1x\right)^2+4\cdot\left(\dfrac 1x\right)^3=0,$$ 因此 $$4t^3-3t^2+1=4\left(t-\dfrac 1a\right)\left(t-\dfrac 1b\right)\left(t-\dfrac 1c\right),$$ 令$t=\dfrac 12$，可得 $$(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2=-12^3\cdot \dfrac{3}{16}=-324,$$ 从而所求代数式的值为$\pm 18{\rm i}$．

PQR方法　由于

$$M=(a-b)(b-c)(c-a)=\sum ab^2-\sum a^2b,$$ 于是 $$\begin{split}M^2&=\left(\sum ab^2\right)^2+\left(\sum {a^2b}\right)^2-2\sum ab^2\cdot \sum a^2b\\&=\sum \left(a^4b^2+a^2b^4\right)+2\sum \left(a^2b^3c+a^3b^2c\right)-2\sum a^3b^3-2\sum a^2b^2c^2-2\sum a^4bc \\&=p^2q^2-2q^3+4pqr-3r^2-3p^3r+2\left(pqr-3r^2\right)-2\left[\left(q^3-3pqr+3r^2\right)+3r^2+\left(p^3r-3pqr+3r^2\right)\right]\\&=p^2q^2-4q^3+18pqr-27r^2-4p^3r,\end{split}$$ 其中 $$\begin{cases}p=a+b+c=0,\\q=ab+bc+ca=-3,\\r=abc=-4,\end{cases}$$ 因此可得$M=\pm 18{\rm i}$．

注　PQR方法是针对三元齐次对称不等式的，将其全部转化成关于$p,q,r$的式子．