每日一题[790]披着解析式外衣的性质

已知函数$f(x)=2x|x|$，若对任意的$x\geqslant 1$，$f(x-m)-mf(x)<0$恒成立，则实数$m$的取值范围是________．

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正确答案是$\left[1,+\infty\right)$．

分析与解　根据题意，函数$f(x)$是单调递增的奇函数，且

$$mf(x)=2mx|x|=\begin{cases} f(\sqrt m x),&m\geqslant 0,\\ f(-\sqrt {-m} x),&m<0.\end{cases}$$ 因此问题转化为 $$\begin{cases} m\geqslant 0,\\ \forall x\geqslant 1,x-m<\sqrt m x,\end{cases}$$ 或 $$\begin{cases} m<0,\\ \forall x\geqslant 1,x-m<-\sqrt{-m}x,\end{cases}$$ 解得$m\geqslant 1$．