每日一题[789]复合函数的联合图象

已知函数$f(x)=\begin{cases} \ln x,&x\geqslant 1,\\ 1-\dfrac x2,&x<1,\end{cases}$若$F(x)=f(f(x)+1)+m$有两个零点$x_1,x_2$，则$x_1+x_2$的取值范围是______．

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正确答案是$\left[4-2\ln 2,+\infty\right)$．

分析与解　把问题转化为$f(t)=-m$，$t=f(x)+1$．如图，$x_1,x_2$为函数$f(t)=-m$的解$t=t_i$对应到$f(x)+1=t_i$的解$x_1,x_2$，结合图象知$t_i>\dfrac 32$时，对应两个解$x_1,x_2$：不妨设$x_1<x_2$，于是

$$1-\dfrac{x_1}2=\ln x_2=u,$$ 其中$u=t-1$，$u>\dfrac 12$，有 $$x_1+x_2=2-2u+{\rm e}^u,$$ 设右边为$\varphi(u)$，则其导函数 $$\varphi'(u)={\rm e}^u-2,$$ 因此所求的范围是$\left[\varphi(\ln 2),+\infty\right)$，即$\left[4-2\ln 2,+\infty\right)$．