每日一题[788]四棱锥染色

用$6$种不同的颜色对正四棱锥$P-ABCD$的$8$条棱染色,每个顶点出发的棱的颜色各不相同,不同的染色方案共有________ .


正确答案是$38880$.

分析与解 先染从$P$点出发的$4$条侧棱,有${\rm A}_6^4=360$种不同的方案.接下来考虑底面的染色.

情形一 没有额外的颜色,有$2$种染色方案.

情形二 有$1$种额外的颜色,分为$2$类:

  第一类,染一条边,有$2\cdot 4\cdot 4=32$种方案;

  第二类,染两条对边,有$2\cdot 2\cdot 4=16$种方案.

情形三 有$2$种额外的颜色,分为$4$类:

  第一类,染两条邻边,有$4\cdot 2\cdot 3=24$种方案;

  第二类,染两条对边,有$2\cdot 2\cdot 4=16$种方案;

  第三类,染三条边,有$4\cdot 2\cdot 2=16$种方案;

  第四类,染四条边,有$2$种方案.

因此不同的染色方案总数为$$360\cdot [2+(32+16)+(24+16+16+2)]=38880.$$

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表评论