每日一题[788]四棱锥染色

用$6$种不同的颜色对正四棱锥$P-ABCD$的$8$条棱染色，每个顶点出发的棱的颜色各不相同，不同的染色方案共有________ .

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正确答案是$38880$．

分析与解　先染从$P$点出发的$4$条侧棱，有${\rm A}_6^4=360$种不同的方案．接下来考虑底面的染色．

情形一　没有额外的颜色，有$2$种染色方案．

情形二　有$1$种额外的颜色，分为$2$类：

  第一类，染一条边，有$2\cdot 4\cdot 4=32$种方案；

  第二类，染两条对边，有$2\cdot 2\cdot 4=16$种方案．

情形三　有$2$种额外的颜色，分为$4$类：

  第一类，染两条邻边，有$4\cdot 2\cdot 3=24$种方案；

  第二类，染两条对边，有$2\cdot 2\cdot 4=16$种方案；

  第三类，染三条边，有$4\cdot 2\cdot 2=16$种方案；

  第四类，染四条边，有$2$种方案．

因此不同的染色方案总数为

$$360\cdot [2+(32+16)+(24+16+16+2)]=38880.$$