每日一题[775]极值点排排队

函数$f(x)=(x-a)^2(x+b){\rm e}^x$，其中$a,b\in\mathbb R$．
(1) 当$a=0$，$b=-3$时，求函数$f(x)$的单调区间；
(2) 当$a=0$时，若$x=0$是$f(x)$的极大值点，求$b$的取值范围；
(3) 若$x=a$是$f(x)$的极大值点，设$x_1,x_2,x_3$是$f(x)$的$3$个极值点．是否存在实数$b$和$x_4$，使得$x_1,x_2,x_3,x_4$的某个排列构成等差数列？若存在，求出所有的$b$和对应的$x_4$；若不存在，请说明理由．

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分析与解　根据题意，有

$$f'(x)={\rm e}^x\cdot\left[2(x-a)(x+b)+(x-a)^2+(x-a)^2(x+b)\right],$$ 即 $$f'(x)={\rm e}^x\cdot(x-a)\cdot \left[x^2+(-a+b+3)x-ab-a+2b\right],$$ 关于$x$的方程 $$x^2+(-a+b+3)x-ab-a+2b=0$$ 的判别式 $$\Delta=(-a+b+3)^2-4(-ab-a+2b)=(a+b-1)^2+8.$$ (1)当$a=0$，$b=-3$时，有 $$f'(x)={\rm e}^x\cdot x\cdot \left(x^2-6\right),$$ 于是函数$f(x)$的单调递增区间是$\left(-\sqrt 6,0\right)$和$\left(\sqrt 6,+\infty\right)$；函数$f(x)$的单调递减区间是$\left(-\infty,-\sqrt 6\right )$和$\left(0,\sqrt 6\right)$．

(2)当$a=0$时，有

$$f'(x)={\rm e}^x\cdot x\cdot \left[x^2+(b+3)x+2b\right],$$ 由于$\Delta>0$，于是问题等价于关于$x$的方程 $$x^2+(b+3)x+2b=0$$ 的两根分别位于$x=0$两侧，因此$b$的取值范围是$(-\infty,0)$．

(3)根据题意，不妨设

$$x_1=\dfrac {a-b-3-\sqrt {\Delta}}2,x_2=\dfrac{a-b-3+\sqrt{\Delta}}2,x_3=a,$$ 记$a=(1-\lambda)x_1+\lambda x_2$，因为$a$为极大值点，所以$a\in(x_1,x_2)$，从而$\lambda$的所有可能取值为$\dfrac 13,\dfrac 12,\dfrac 23$，如图．
此时对应的方程为 $$a=(1-\lambda)\cdot \dfrac {a-b-3-\sqrt {\Delta}}2+\lambda \cdot \dfrac{a-b-3+\sqrt{\Delta}}2,$$ 即 $$(a+b-1)+4=(2\lambda -1)\sqrt{(a+b-1)^2+8},$$ 也即 $$\left(\lambda^2-\lambda\right)t^2-2t+8\left(\lambda^2-\lambda\right)-2=0,$$ 解得 $$t=\dfrac{1\pm \sqrt{-8m^2+2m+1}}m,$$ 其中$t=a+b-1$，$m=\lambda^2-\lambda$．而$m$的所有可能取值为$-\dfrac 29,-\dfrac 14$，于是所有可能的解为 $$(\lambda,m,t)=\left(\dfrac 13,-\dfrac 29,\dfrac{-9-\sqrt{13}}2\right),\left(\dfrac 23,-\dfrac 29,\dfrac{-9+\sqrt{13}}2\right),\left(\dfrac 12,-\dfrac 14,-4\right),$$ 对应的$b$和$x_4$分别为 $$(b,x_4)=\left(\dfrac{-7-\sqrt{13}}2-a,\dfrac{1+\sqrt{13}}2+a\right),\left(\dfrac{-7+\sqrt{13}}2-a,\dfrac{1-\sqrt{13}}2+a\right),\left(-3-a,\pm 2\sqrt 6+a\right).$$ 注意在第一，二种情况下，$a+x_4=x_1+x_2=a-b-3$，在第三种情况下，$|x_4-a|=x_2-x_1=\sqrt{\Delta}=\sqrt{t^2+8}=2\sqrt 6$，由此可快速解出$x_4$．