每日一题[774]稳住一个是一个

已知存在满足$\alpha,\beta,\alpha+\beta$均为锐角的$\alpha,\beta$使得方程$\sin\dfrac{\alpha}2=k\cos\beta$有解，则$k$的取值范围是______．

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正确的答案是$\left(0,\dfrac{\sqrt 2}2\right)$．

分析　考虑此问题中，对$\alpha ,\beta$的限制只有范围，考虑先固定$\alpha$，让$\beta$变化，看看$k$的变化情况，此时$\beta \in\left(0,\dfrac {\pi}2-\alpha \right)$，所以

$$\cos\beta\in\left(\cos\left(\dfrac {\pi}2-\alpha\right),1\right)=(\sin\alpha,1),$$ 于是$k$的范围可以用$\alpha$表示出来，再让$\alpha$在$\left(0,\dfrac {\pi}2\right)$内变化，即可得到$k$的取值范围．

解　根据题意，有

$$\cos\left(\dfrac{\pi}2-\alpha\right)<\cos\beta<1,$$ 于是
$$\sin\dfrac{\alpha}2<k=\dfrac{\sin\dfrac{\alpha}2}{\cos\beta}<\dfrac{\sin\dfrac{\alpha}2}{\sin\alpha}=\dfrac{1}{2\cos\dfrac{\alpha}2},$$ $\alpha \to 0$时，$k\to 0$；当$\alpha \to\dfrac {\pi}2,\beta \to 0$时，$k\to \dfrac {\sqrt 2}2$，因此$k$的取值范围是$\left(0,\dfrac{\sqrt 2}2\right)$．