每日一题[771]用解析几何转化条件

已知扇形$OAB$中，$\angle AOB$为直角，圆$C$与$OA,OB$及圆$O$相切，圆$D$与$OA$，圆$O$，圆$C$相切．作$DE\perp OC$，垂足为$E$．求证：$\triangle ODE$的三边成等差数列．

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分析与解　不妨设$OA=\sqrt 2+1$，$OC=\sqrt 2$，则圆$D$的半径

$$r=\sqrt 2+1-DO=DC-1,$$ 于是$DO+DC=\sqrt 2+2$，因此$D$在以$O,C$为焦点，$\sqrt 2+2$为长轴长的椭圆上．设$\angle DOC=\theta$，则由焦半径公式得 $$OD=\dfrac{\left(\dfrac{\sqrt 2+2}2\right)^2-\left(\dfrac{\sqrt 2}2\right)^2}{\dfrac{\sqrt 2+2}2-\dfrac{\sqrt 2}2\cdot \cos\theta}=\dfrac{\sqrt 2+2}{\sqrt 2+1-\cos\theta}.$$ 因此有 $$r=OD\cdot \sin\left(\dfrac{\pi}4-\theta\right)=\sqrt 2+1-OD,$$ 即 $$\dfrac{\sqrt 2+2}{\sqrt 2+1-\cos\theta}\cdot \dfrac{\sqrt 2}2\left(\cos\theta-\sin\theta\right)=\sqrt 2+1-\dfrac{\sqrt 2+2}{\sqrt 2+1-\cos\theta},$$ 整理可得 $$2\cos\theta-\sin\theta=1,$$ 于是$\sin\theta=\dfrac 35$，因此原命题得证．