已知x>0,考虑方程ax=xa,其中a>0且a≠1.
(1) 若方程只有一个实数解,求a的取值范围;
(2) 若方程有两个实数解x1,x2,求证:x1+x2>2e.
分析与解 (1) 方程ax=xa等价于lnxx=lnaa,记f(x)=lnxx,则f′(x)=1−lnxx2,于是f(x)草图如下:于是当a=e或0<a<1时方程只有一个实数解.因此a的取值范围是(0,1)∪{e}.
(2) 根据第(1)小题,可得lnaa∈(0,1e).由于{alnx1=x1lna,alnx2=x2lna,于是a(lnx1−lnx2)=(x1−x2)lna,从而根据对数平均不等式x1+x22>x1−x2lnx1−lnx2=alna>e,原命题得证.
注 不妨设x1<x2,第二问也可以直接证明x2>2e−x1成立,由f(x)的单调性知,这等价于证明f(x2)<f(2e−x1),而f(x2)=f(x1),且x1∈(0,e),所以只需要证明f(x)−f(2e−x)<0对x∈(0,e)恒成立即可.而这等价于∀x∈(0,e),(2e−x)lnx−xln(2e−x)<0,记左边为函数g(x),则有g′(x)=(2e−x)2+x2x(2e−x)−ln[x(2e−x)]>0,而g(e)=0,于是不等式得证.