每日一题[768]构造函数看方程

已知x>0,考虑方程ax=xa,其中a>0a1
(1) 若方程只有一个实数解,求a的取值范围;
(2) 若方程有两个实数解x1,x2,求证:x1+x2>2e


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分析与解 (1) 方程ax=xa等价于lnxx=lnaa,f(x)=lnxx,则f(x)=1lnxx2,于是f(x)草图如下:于是当a=e0<a<1时方程只有一个实数解.因此a的取值范围是(0,1){e}
(2) 根据第(1)小题,可得lnaa(0,1e).由于{alnx1=x1lna,alnx2=x2lna,于是a(lnx1lnx2)=(x1x2)lna,从而根据对数平均不等式x1+x22>x1x2lnx1lnx2=alna>e,原命题得证.

 不妨设x1<x2,第二问也可以直接证明x2>2ex1成立,由f(x)的单调性知,这等价于证明f(x2)<f(2ex1),而f(x2)=f(x1),且x1(0,e),所以只需要证明f(x)f(2ex)<0x(0,e)恒成立即可.而这等价于x(0,e),(2ex)lnxxln(2ex)<0,记左边为函数g(x),则有g(x)=(2ex)2+x2x(2ex)ln[x(2ex)]>0,g(e)=0,于是不等式得证.

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