每日一题[770]不等式的放缩

已知实数$x,y,z$满足$x^2+y^2+z^2=2$，则$xy+yz+xz$的取值范围是________．

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正确答案是$[-1,2]$．

分析与解　由于

$$xy+yz+zx\leqslant \dfrac {x^2+y^2}2+\dfrac{y^2+z^2}2+\dfrac{z^2+x^2}2=x^2+y^2+z^2=2,$$ 等号当$x=y=z$时取得；又
$$2xy+2yz+2zx=(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)\geqslant -2,$$ 于是 $$xy+yz+zx\geqslant -1,$$ 等号当$x+y+z=0$，如$x=-1,y=1,z=0$时取得．

因此所求的取值范围是$[-1,2]$．