每日一题[767]不等式的证明

已知$|a|,|b|,|c|\leqslant 1$，求证：$ab+bc+ca\geqslant -1$．

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证明　方法一　不妨设$b+c\geqslant 0$（若$b+c<0$，分别取$-a,-b,-c$证明即可），则由于$|a|\leqslant 1$，而$ab+bc+ca=(b+c)a+bc$，于是

$$ab+bc+ca\geqslant -(b+c)+bc=(b-1)(c-1)-1\geqslant -1.$$
方法二　由于$a+b,b+c,c+a$中必然有两个数乘积不小于$0$，不妨设$(a+b)(b+c)\geqslant 0$，则 $$ab+bc+ca=(a+b)(b+c)-b^2\geqslant -b^2\geqslant -1.$$
方法三　根据题意，有 $$2(ab+bc+ca+1)=(a+1)(b+1)(c+1)-(a-1)(b-1)(c-1)\geqslant 0.$$