每日一题[766]抓住本质 改头换面

已知点$P$是圆$O:x^2+y^2=1$上一动点，$O$为坐标原点．过点$P$作圆$O$的切线$l$与圆$O_1:x^2+y^2-2x-8y=19$相交于$A,B$两点，则$\dfrac{AP}{BP}$的最大值为________．

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正确答案是$3+2\sqrt 2$．

分析与解　不改变问题的本质，将问题拓展．已知单位圆$O:x^2+y^2=1$及其在$P(0,1)$处的切线$l:y=1$，圆$O_1$的圆心到$O$的距离为$d$，半径为$r$且与直线$l$交于$A,B$两点，求$A,B$两点横坐标的绝对值的比的取值范围．设$O_1(d\cos\theta,d\sin\theta)$，则圆$O_1$的方程为

$$(x-d\cos\theta)^2+(y-d\sin\theta)^2=r^2,$$ 与直线$l$的方程联立可得 $$x^2-2d\cos\theta\cdot x+d^2-r^2-2d\sin\theta+1=0.$$ 设$A,B$两点横坐标的比为$\lambda$，则 $$\left(-2d\cos\theta\right)^2=\left(\lambda+\dfrac{1}{\lambda}+2\right)\left(d^2-r^2-2d\sin\theta+1\right),$$ 整理得 $$\lambda+\dfrac{1}{\lambda}=m+2d\sin\theta+\dfrac{m^2-4d^2}{m+2d\sin\theta}-2m-2,$$ 其中$m=r^2-d^2-1$．

当$m^2-4d^2\geqslant 0$时，$\lambda+\dfrac{1}{\lambda}$的取值范围是$\left[2\sqrt{m^2-4d^2}-2m-2,-2\right]$，最小值当$m+2d\sin\theta=\sqrt{m^2-4d^2}$时取得，最大值当$\sin\theta=\pm 1$时取得．

回到本题中，有$m=r^2-d^2-1=18$，于是$\lambda+\dfrac{1}{\lambda}$的最小值为$-6$，进而可得$\dfrac{AP}{BP}$的最大值为$3+2\sqrt 2$．

注　本题取自人大附中高三练习题选择题的一个选项．