每日一题[762]按部就班

设二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$的导函数为$f'(x)$,对$\forall x\in\mathbb{R}$,不等式$f(x)\geqslant f'(x)$恒成立,则$\dfrac {b^2}{a^2+2c^2}$的最大值为________.


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正确答案是$\sqrt 6-2$.

分析与解 由题意知$$\forall x\in\mathbb{R},ax^2+(b-2a)x+c-b\geqslant 0,$$题中已说明是二次函数,故$a\ne 0$,所以有$$a>0,\Delta=(b-2a)^2-4a(c-b)\leqslant 0,$$整理得$$a>0,b^2\leqslant 4ac-4a^2,$$从而有$c\geqslant a$.于是$$\dfrac {b^2}{a^2+2c^2}\leqslant \dfrac{4ac-4a^2}{a^2+2c^2}=\dfrac {4\left(\dfrac ca-1\right)}{2\left(\dfrac ca\right)^2+1}.$$记$t=\dfrac ca-1\geqslant 0$,因为考虑最大值,所以只需要考虑$t>0$,有$$RHS=\dfrac {4t}{2(t+1)^2+1}=\dfrac 4{2t+\frac 3t+4}\leqslant \sqrt 6-2.$$当$t=\dfrac {\sqrt 6}2$时取到等号.

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