每日一题[756]以直代曲

已知$a_1,a_2,\cdots ,a_{2016}\in [-2,2]$，$a_1+a_2+\cdots +a_{2016}=0$，则$a_1^3+a_2^3+\cdots +a_{2016}^3$的最大值为_______．

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正确答案是$4032$

分析与解    取$f(x)=x^3$过点$(2,8)$的切线$y=3x+2$，则

$$x^3\leqslant 3x+2,$$ 等号当且仅当$x=-1$或$x=2$时取得，如图：因此 $$a_1^3+a_2^3+\cdots +a_{2016}^3\leqslant 3(a_1+a_2+\cdots +a_{2016})+4032=4032,$$ 等号当$a_1,a_2,\cdots ,a_{2016}$中有$672$个数取$2$，其余的数取$-1$时取得．