设函数f(x)=ex−ax+a(a∈R),其图象与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点,且x1<x2.
(1) 求a的取值范围;
(2) 求证:f′(√x1x2)<0;
(3) 设C在函数y=f(x)的图象上,且△ABC为等腰直角三角形,记√x2−1x1−1=t,求(a−1)(t−1)的值.
分析与解 (1) 函数f(x)的导函数f′(x)=ex−a,显然有a>0,于是在(−∞,lna)上函数f(x)单调递减,在(lna,+∞)上函数f(x)单调递增,当x=lna时函数f(x)取得极小值,亦为最小值f(lna)=a(2−lna),由最小值小于零得到a的取值范围是(e2,+∞).
(2) 由题意,有{ex1−ax1+a=0,ex2−ax2+a=0,于是a=ex2−ex1x2−x1.因此欲证明不等式即e√x1x2−ex2−ex1x2−x1<0.由对数平均不等式以及均值不等式,我们知道ex2−ex1x2−x1=ex2−ex1lnex2−lnex1>√ex1⋅ex2=ex1+x22>e√x1x2,因此原命题得证.
(3) 如图,根据题意,C的横坐标为x1+x22.于是f(x1+x22)=x1−x22,即ex1+x22−a⋅x1+x22+a+x2−x12=0.又ex1+x22=√ex1⋅ex2=a√(x1−1)(x2−1)=at(x1−1),代入,并整理得at(x1−1)−a+12(x1−1)−a−12(x2−1)=0,因此at−a+12−a−12t2=0,也即(t2−2t+1)a=t2−1,于是(a−1)(t−1)=2,原命题得证.
注 第二问也可以不用对数平均不等式,直接证明ex2−ex1x2−x1>ex1+x12,对此式变形得ex2−x12−ex1−x22>x2−x1.令t=x2−x12,则需要证明的不等式为et−e−t−2t>0,t>0将左边看成关于t的函数直接求导便可证明此不等式.
百度文库中有一篇关于导函数极值点偏移的问题 其中作者对江苏南通的那道题提出了同上的问题 但还没有人解答出 请问老师知道是什么吗
老师 请问第二问两式相减得到a的等式的思想基础是什么 为什么要这样做 而不是 相加呢?