每日一题[733]紧密相连

设函数f(x)=exax+a(aR),其图象与x轴交于A(x1,0)B(x2,0)两点,且x1<x2
(1) 求a的取值范围;
(2) 求证:f(x1x2)<0
(3) 设C在函数y=f(x)的图象上,且ABC为等腰直角三角形,记x21x11=t,求(a1)(t1)的值.


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分析与解 (1) 函数f(x)的导函数f(x)=exa,显然有a>0,于是在(,lna)上函数f(x)单调递减,在(lna,+)上函数f(x)单调递增,当x=lna时函数f(x)取得极小值,亦为最小值f(lna)=a(2lna),由最小值小于零得到a的取值范围是(e2,+)

(2) 由题意,有{ex1ax1+a=0,ex2ax2+a=0,于是a=ex2ex1x2x1.因此欲证明不等式即ex1x2ex2ex1x2x1<0.由对数平均不等式以及均值不等式,我们知道ex2ex1x2x1=ex2ex1lnex2lnex1>ex1ex2=ex1+x22>ex1x2,因此原命题得证.

(3) 如图,根据题意,C的横坐标为x1+x22%e5%b1%8f%e5%b9%95%e5%bf%ab%e7%85%a7-2016-12-13-%e4%b8%8a%e5%8d%8810-13-26于是f(x1+x22)=x1x22,ex1+x22ax1+x22+a+x2x12=0.ex1+x22=ex1ex2=a(x11)(x21)=at(x11),代入,并整理得at(x11)a+12(x11)a12(x21)=0,因此ata+12a12t2=0,也即(t22t+1)a=t21,于是(a1)(t1)=2,原命题得证.

 第二问也可以不用对数平均不等式,直接证明ex2ex1x2x1>ex1+x12,对此式变形得ex2x12ex1x22>x2x1.t=x2x12,则需要证明的不等式为etet2t>0,t>0将左边看成关于t的函数直接求导便可证明此不等式.

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每日一题[733]紧密相连》有2条回应

  1. 943203745说:

    百度文库中有一篇关于导函数极值点偏移的问题 其中作者对江苏南通的那道题提出了同上的问题 但还没有人解答出 请问老师知道是什么吗

  2. 943203745说:

    老师 请问第二问两式相减得到a的等式的思想基础是什么 为什么要这样做 而不是 相加呢?

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