每日一题[740]团团圆圆

在平面直角坐标系中，圆$C_1:(x+1)^2+(y-6)^2=25$，圆$C_2:(x-17)^2+(y-30)^2=r^2$．若$C_2$上存在一点$P$可作一条射线与$C_1$依次交于点$A,B$，满足$|PA|=2|AB|$，则半径$r$的取值范围是_________．

分析与解　$[5,55]$．

对任意一点$P$，考虑条件的含义．

若点$P$在圆$C_1$的内部（含圆上时），一定无法作出满足条件的射线；

若点$P$在圆外时，当射线与圆相切时，一定有$|PA|>2|AB|$，所以只需要存在一条射线使得$|PA|\leqslant 2|AB|$，则点$P$满足要求．当射线过圆$C_1$的圆心时，$|PA|$有最小值$|PC_1|-r$，$|AB|$有最大值$2r$，当$|PC_1|-r\leqslant 4r$，即$|PC_1|\leqslant 5r=25$时满足条件．

所以$P$点的轨迹是以$C_1$的圆心为圆心，内外半径分别为$5$（不含）和$25$（含）的圆环．

计算知$|CC_1|=30$，所以$r\in[5,55]$．