若存在实数m,n使函数f(x)=√x+3+k的定义域为[m,n],值域为[−n,−m],则实数k的取值范围是_______.
分析与解 [2,94).
题意即f(x)得图象过点A(m,−n),B(n,−m),而AB:y=x−(m+n),于是关于x的方程√x+3+k=x−(m+n)
即x+3=x2−2(m+n+k)x+(m+n+k)2
有两个实数解m,n,从而由韦达定理可得2(m+n+k)+1=m+n,
于是m+n=−2k−1.考虑直线y=x−(m+n)−k与y=√x+3的位置关系,可得−(m+n)−k的取值范围是[3,134),如图:

于是k的取值范围是[2,94).
另法 因为f(x)为增函数,所以有{√m+3+k=−n,√n+3+k=−m,
从而有−k=√m+3+n=√n+3+m,于是有m−√m+3=n−√n+3=t,
所以x−√x+3=t有两根m,n,移项得√x+3=x−t,两边平方整理得x2−(2t+1)x+(t2−3)=0.
由这个方程的两根为m,n及化简过程知n>m⩾−3,且n>m⩾t.设g(x)=x2−(2t+1)x+t2−3,
则有{Δ=4t+13>0,g(t)⩾0,g(−3)⩾0,
解得−134<t⩽−3.
由韦达定理知m+n=2t+1,寻找k与t的关系:
因为2t=m+n−√m+3−√n+3=m+n−(−k−n)−(−k−m)=2(m+n+k)=2(2t+1+k),
所以k=−t−1∈[2,94).