每日一题[746]函数与方程间的转化

若存在实数m,n使函数f(x)=x+3+k的定义域为[m,n],值域为[n,m],则实数k的取值范围是_______.


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分析与解 [2,94)

题意即f(x)得图象过点A(m,n)B(n,m),而AB:y=x(m+n),于是关于x的方程x+3+k=x(m+n)

x+3=x22(m+n+k)x+(m+n+k)2
有两个实数解m,n,从而由韦达定理可得2(m+n+k)+1=m+n,
于是m+n=2k1.考虑直线y=x(m+n)ky=x+3的位置关系,可得(m+n)k的取值范围是[3,134),如图:%e5%b1%8f%e5%b9%95%e5%bf%ab%e7%85%a7-2016-12-13-%e4%b8%8a%e5%8d%889-23-13

于是k的取值范围是[2,94)

另法 因为f(x)为增函数,所以有{m+3+k=n,n+3+k=m,

从而有k=m+3+n=n+3+m,于是有mm+3=nn+3=t,
所以xx+3=t有两根m,n,移项得x+3=xt,两边平方整理得x2(2t+1)x+(t23)=0.
由这个方程的两根为m,n及化简过程知n>m3,且n>mt.设g(x)=x2(2t+1)x+t23,
则有{Δ=4t+13>0,g(t)0,g(3)0,
解得134<t3

由韦达定理知m+n=2t+1,寻找kt的关系:

因为2t=m+nm+3n+3=m+n(kn)(km)=2(m+n+k)=2(2t+1+k),

所以k=t1[2,94)

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