锐角三角形$ABC$中，若$\sin A=2\sin B\sin C$，则$$\tan A+2\tan B\tan C+\tan A\tan B\tan C$$的最小值为______．
答案 $16$．
分析与解 根据题意，有$\sin (B+C)=2\sin B\sin C$，从而有$$\tan B+\tan C=2\tan B\cdot \tan C.$$又因为在三角形中有$$\tan A\tan B\tan C=\tan A+\tan B+\tan C,$$由$\tan (B+C)=-\tan A=\dfrac {\tan B+\tan C}{1-\tan B\tan C}$展开即可得到．所以\[\begin{split} \tan A\tan B\tan C&=\tan A+\tan B+\tan C\\&=\tan A+2\tan B\tan C\\&\geqslant 2\sqrt{2\tan A\tan B\tan C},\end{split} \]当$\tan A=2\tan B\cdot\tan C$时等号成立．于是$$\tan A\tan B\tan C\geqslant 8,$$从而$$\tan A+2\tan B\tan C+\tan A\tan B\tan C=2\tan A\tan B\tan C\geqslant 16,$$等号当$\tan A=4$，$\tan B=2+\sqrt 2$，$\tan C=2-\sqrt 2$($B,C$可互换)时取得．
因此所求的最小值为$16$．