锐角三角形ABC中,若sinA=2sinBsinC,则tanA+2tanBtanC+tanAtanBtanC的最小值为______.
答案 16.
分析与解 根据题意,有sin(B+C)=2sinBsinC,从而有tanB+tanC=2tanB⋅tanC.又因为在三角形中有tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC,由tan(B+C)=−tanA=tanB+tanC1−tanBtanC展开即可得到.所以tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC=tanA+2tanBtanC⩾当\tan A=2\tan B\cdot\tan C时等号成立.于是\tan A\tan B\tan C\geqslant 8,从而\tan A+2\tan B\tan C+\tan A\tan B\tan C=2\tan A\tan B\tan C\geqslant 16,等号当\tan A=4,\tan B=2+\sqrt 2,\tan C=2-\sqrt 2(B,C可互换)时取得.
因此所求的最小值为16.