若平面向量$\overrightarrow a,\overrightarrow b$满足$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow a=1$，$\overrightarrow b\cdot \overrightarrow b=4$，$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b=1$，$\overrightarrow e$是平面内的单位向量，则$\Big|\overrightarrow a\cdot \overrightarrow e\Big|+\Big|\overrightarrow b\cdot \overrightarrow e\Big|$的取值范围是_________．
答案 $\left[\dfrac{\sqrt 3}2,\sqrt 7\right]$．
分析与解 法一 代数计算
设$\overrightarrow a=(1,0)$，$\overrightarrow b=\left(1,\sqrt 3\right)$，$\overrightarrow e=\left(\cos \theta,\sin\theta\right)$，则\[\begin{split} \left|\overrightarrow a\cdot \overrightarrow e\right|+\left|\overrightarrow b\cdot \overrightarrow e\right|&=\left|\cos\theta\right|+\left|\cos\theta+\sqrt 3\sin\theta\right|\\
&=\begin{cases} \left|2\cos\theta+\sqrt 3\sin\theta\right|,&\theta\in\left(-\dfrac{\pi}6+k\pi,\dfrac{\pi}2+k\pi\right],\\ \left|\sqrt 3\sin\theta\right|,&\theta\in\left(\dfrac {\pi}2,\dfrac{5\pi}6+k\pi\right],\end{cases} \end{split}\]其中$k\in\mathcal Z$． 
如图，函数值域即所求的取值范围，为$\left[\dfrac{\sqrt 3}2,\sqrt 7\right]$．
法二 几何意义
记$\overrightarrow {OA}=\overrightarrow {a},\overrightarrow {OB}=\overrightarrow {b}$，$\overrightarrow {OE}=\overrightarrow {e}$，则题意知$$OA=1,OB=2,\angle AOB=\dfrac {\pi}{3}.$$且点$E$在以$O$为圆心的单位圆上，如图：
容易计算得到$$\Big|\overrightarrow {OC}\Big|=\Big|\overrightarrow {a}+\overrightarrow {b}\Big|=\sqrt 7,\Big|\overrightarrow {OD}\Big|=\Big|\overrightarrow {a}-\overrightarrow {b}\Big|=\sqrt 3.$$过点$O$作$MN\perp OA,PQ\perp OB$，于是平面区域划分成四个部分$$QOM,MOP,PON,NOQ,$$类似于四个象限，其中当点$E$在“第一、三象限($QOM$与$PON$)”内（含边界）时，$\overrightarrow {a}\cdot\overrightarrow {e}$与$\overrightarrow {b}\cdot\overrightarrow {e}$同号（或其中一个为零），此时有$$\Big|\overrightarrow a\cdot \overrightarrow e\Big|+\Big|\overrightarrow b\cdot \overrightarrow e\Big|=\Big|(\overrightarrow {a}+\overrightarrow {b})\cdot\overrightarrow {e}\Big|=\overrightarrow {OC}\cdot \overrightarrow {OE}\in\left[\dfrac {\sqrt 3}2,\sqrt 7\right].$$当点$E$在“第二、四象限（$MOP$与$NOQ$）”内（含边界）时，$\overrightarrow {a}\cdot\overrightarrow {e}$与$\overrightarrow {b}\cdot\overrightarrow {e}$异号（或其中一个为零），此时有$$\Big|\overrightarrow a\cdot \overrightarrow e\Big|+\Big|\overrightarrow b\cdot \overrightarrow e\Big|=\Big|(\overrightarrow {a}-\overrightarrow {b})\cdot\overrightarrow {e}\Big|=\Big|\overrightarrow {ON}\cdot\overrightarrow {OE}\Big|\in\left[\dfrac {\sqrt 3}2,\sqrt 3\right].$$综上知，所求取值范围为$\left[\dfrac{\sqrt 3}2,\sqrt 7\right]$．