若平面向量→a,→b满足→a⋅→a=1，→b⋅→b=4，→a⋅→b=1，→e是平面内的单位向量，则|→a⋅→e|+|→b⋅→e|的取值范围是_________．
答案 [√32,√7]．
分析与解 法一 代数计算
设→a=(1,0)，→b=(1,√3)，→e=(cosθ,sinθ)，则|→a⋅→e|+|→b⋅→e|=|cosθ|+|cosθ+√3sinθ|={|2cosθ+√3sinθ|,θ∈(−π6+kπ,π2+kπ],|√3sinθ|,θ∈(π2,5π6+kπ],
其中k∈Z．
如图，函数值域即所求的取值范围，为[√32,√7]．
法二 几何意义
记→OA=→a,→OB=→b，→OE=→e，则题意知OA=1,OB=2,∠AOB=π3.
且点E在以O为圆心的单位圆上，如图：
容易计算得到|→OC|=|→a+→b|=√7,|→OD|=|→a−→b|=√3.过点O作MN⊥OA,PQ⊥OB，于是平面区域划分成四个部分QOM,MOP,PON,NOQ,
类似于四个象限，其中当点E在“第一、三象限(QOM与PON)”内（含边界）时，→a⋅→e与→b⋅→e同号（或其中一个为零），此时有|→a⋅→e|+|→b⋅→e|=|(→a+→b)⋅→e|=→OC⋅→OE∈[√32,√7].
当点E在“第二、四象限（MOP与NOQ）”内（含边界）时，→a⋅→e与→b⋅→e异号（或其中一个为零），此时有|→a⋅→e|+|→b⋅→e|=|(→a−→b)⋅→e|=|→ON⋅→OE|∈[√32,√3].
综上知，所求取值范围为[√32,√7]．