(2010年广东卷)设A(x1,y1),B(x2,y2)是平面直角坐标系xOy上的两点,现定义由点A到点B的折线距离d(A,B)=|x2−x1|+|y2−y1|.对于平面xOy上给定的不同两点A(x1,y1),B(x2,y2).
(1) 若C(x,y)是平面xOy上的点,试证明d(A,C)+d(C,B)⩾d(A,B);
(2) 在平面xOy上是否存在点C(x,y)同时满足:d(A,C)+d(C,B)=d(A,B)和d(A,C)=d(C,B).若存在,请求出所有符合条件的点;若不存在,请说明理由.
分析与解 (1) 根据题意,有LHS=|x1−x|+|y1−y|+|x−x2|+|y−y2|⩾|(x1−x)+(x−x2)|+|(y1−y)+(y−y2)|=|x1−x2|+|y1−y2|=RHS,因此原命题得证.
(2) 第(1)小题中的不等式取得等号的条件是{(x1−x)(x−x2)⩾0,(y1−y)(y−y2)⩾0,即{min因此当x_1=x_2或y_1=y_2时,C为AB的中点M\left(\dfrac{x_1+x_2}2,\dfrac{y_1+y_2}2\right);当x_1\neq x_2且y_1\neq y_2时,点C的轨迹是过AB的中点M,斜率的绝对值为1,且与直线AB斜率的符号相反的直线被以线段AB为对角线各边都与坐标轴方向平行的矩形所截的线段,如图所示. 注 对于条件d(A,C)=d(C,B),即|x-x_1|-|x-x_2|+|y-y_1|-|y-y_2|=0.因为x-x_1,x-x_2符号相反,y-y_1,y-y_2的符号也相反,所以点C的轨迹是斜率为1或-1的直线.
若直线AB的斜率为正,不妨设x_1<x_2,y_1<y_2,则有2x+2y-x_1-x_2-y_1-y_2=0,即C点在斜率为-1的直线上,其它情况可同理.
思考与总结 本题中的d(A,C)+d(C,B)=d(A,B)可以看成是折线段的定义,d(A,C)=d(C,B)可以看成是折线垂直平分线的定义.类似的,我们可以定义折线圆d(A,C)=r,折线椭圆d(A,C)+d(B,C)=2a,折线双曲线\left|d(A,C)-d(B,C)\right|=2a,点到直线的折线距离\displaystyle d(C,l)=\min_{A\in l}\{d(C,A)\},以及折线抛物线d(C,l)=d(A,C).