每日一题[696]你切我切一起切

已知函数$f(x)=m\ln x$与函数$h(x)=\dfrac{x-1}{2x}$($x>0$)的图象有且只有一条公切线，求实数$m$的值．

分析与解　法一　分离

由于函数$f(x),g(x)$的导函数分别为 $$f'(x)=\dfrac mx,g'(x)=\dfrac{1}{2x^2},$$ 设公切线与函数$f(x)$与函数$g(x)$的图象分别相切于$(a,m\ln a)$与$\left(b,\dfrac 12-\dfrac{1}{2b}\right)$，则 $$\begin{cases} \dfrac ma=\dfrac{1}{2b^2},\\ -\dfrac{m}{a}\cdot a+m\ln a = -\dfrac{1}{2b^2}\cdot b+\dfrac 12-\dfrac{1}{2b},\end{cases}$$ 从而$b=\sqrt{\dfrac{a}{2m}}$，且 $$-m+m\ln a=\dfrac 12-\sqrt{\dfrac{2m}{a}},$$ 即 $$\left(\ln a-1\right)m+\sqrt{\dfrac 2a}\cdot \sqrt m-\dfrac 12=0,$$ 于是 $$\sqrt m=\begin{cases} \sqrt{\dfrac{{\rm e}}8},& a={\rm e},\\ \dfrac{-\sqrt{\dfrac 2a}+\sqrt{\dfrac 2a+2\ln a-2}}{2\left(\ln a-1\right)},& a\ne {\rm e},\end{cases}$$ 即 $$\dfrac{1}{\sqrt {2m}}=x+\sqrt{x^2-2\ln x-1},$$ 其中$x=\sqrt{\dfrac{1}{a}}$．记上述等式右边为$\varphi(x)$，对$\varphi(x)$求导得 $$\varphi'(x)=1+\dfrac {x-\dfrac 1x}{\sqrt{x^2-2\ln x-1}}.$$ 可以证明当$x\in(0,1)$时，$\varphi'(x)<0$；当$x\in(1,+\infty)$时，$\varphi'(x)>0$（可以利用$\ln t$与$1-\dfrac 1t$的大小关系得到$\ln x^2$与$1-\dfrac 1{x^2}$的大小关系，从而得到结论）．
从而有$\varphi(x)$在$(0,1)$上单调递减，在$(1,+\infty)$上单调递增．当$x=1$时，$\varphi(x)$取得最小值$\varphi(1)=1$．因此当$m=\dfrac 12$时，符合题意．

综上所述，实数$m$的值为$\dfrac 12$，对应的公切线方程为$y=\dfrac 12x-\dfrac 12$．

法二　不分离

$f(x)$在点$(a,m\ln a)$处的切线为 $$y=\dfrac ma(x-a)+m\ln a.$$ 而$h(x)$在点$\left(b,\dfrac 12-\dfrac 1{2b}\right)$处的切线为 $$y=\dfrac 1{2b^2}(x-b)+\dfrac 12-\dfrac 1{2b}.$$ 由这两条切线重合知 $$\begin{cases} \dfrac ma=\dfrac 1{2b^2},\\-m+m\ln a=-\dfrac 1b+\dfrac 12.\end{cases}$$ 问题即当$m$在什么范围内时，关于$(a,b)$的方程有唯一一组解．因为$a$与$b$的值一一对应，如果在方程组中消去$b$，得到 $$m\ln a+\sqrt{\dfrac {2m}{a}}-m-\dfrac 12=0,$$ 此方程组对$a>0$有唯一解，不好计算；
如果在方程组中消去$a$得到 $$m\ln(2m)-m+2m\ln b+\dfrac 1b-\dfrac 12=0$$ 对$b>0$有唯一解，记左边为$g(b)$，则有 $$g'(b)=\dfrac {2mb-1}{b^2},$$ 方程组有解时有$m>0$，所以$g(b)$在$\left(0,\dfrac 1{2m}\right)$上单调递减，在$\left(\dfrac 1{2m},+\infty\right)$上单调递增，所以 $$g(b)_{\min}=g\left(\dfrac 1{2m}\right)=m-\dfrac 12-m\ln(2m),$$ 而当$b\to 0$与$b\to+\infty$时，均有$g(b)\to +\infty$，所以当且仅当这个最小值等于零时方程$g(b)=0$有唯一解．
最后解方程 $$m-\dfrac 12-m\ln(2m)=0,$$ 显然$m=\dfrac 12$是它的解，考虑$h(m)=m-\dfrac 12-m\ln(2m)$，有$h'(m)=-\ln(2m)$，所以$h(m)$在$\left(0,\dfrac 12\right)$上单调递增，在$\left(\dfrac 12,+\infty\right )$上单调递减，所以$\dfrac 12$是$h(m)=0$的唯一解，所以$m=\dfrac 12$．