每日一题[700]突破重围

已知$\triangle ABC$的周长为$6$，$a,b,c$分别为$A,B,C$所对的边，且$a,b,c$成等比数列，则$\overrightarrow  {BA}\cdot \overrightarrow  {BC}$的取值范围是________．

答案　$\left[2,\dfrac{27-9\sqrt 5}2\right)$．

分析与解　根据题意，$a+b+c=6$，且$ac=b^2$，于是 $$\overrightarrow {BA}\cdot \overrightarrow {BC}=ac\cos B=\dfrac{a^2+c^2-b^2}2=-b^2-6b+18.$$ 下面的关键是确定$b$的取值范围：

由题意知$a,b,c$满足的条件有 $$\begin{cases} |a-c|<b<a+c,\\a+c=6-b,\\ac=b^2.\end{cases}$$ 于是有 $$(a-c)^2<b^2<(a+c)^2,$$ 从而 $$0\leqslant (6-b)^2-4b^2<b^2<(6-b)^2,$$ 解得$\dfrac{3(\sqrt 5-1)}2<b\leqslant 2$．

于是所求的取值范围是$\left[2,\dfrac{27-9\sqrt 5}2\right)$．