已知适合不等式$\left|x^2-4x+a\right|+|x-3|\leqslant 5$的$x$的最大值为$3$，求实数$a$的值，并解该不等式．
分析与解 设$f(x)=\left|x^2-4x+a\right|$，$g(x)=5-|x-3|$，则$$f(3)=\left|a-3\right|\leqslant g(3)=5,$$于是$|a-3|\leqslant 5$．
情形一 $|a-3|=5$．此时$a=8$或$a=-2$，如图．
不难得到$a=8$符合题意，此时不等式的解集为$[2,3]$．
情形二 $|a-3|<5$．此时$-2<a<8$．
由于$f(3)<g(3)$，而$f(9)\geqslant 0>g(9)$，于是函数$y=f(x)-g(x)$在区间$(3,9)$上必有零点$x_0$，与满足不等式的$x$的最大值为$3$矛盾．
综上，实数$a$的值为$8$，该不等式的解集为$[2,3]$．