每日一题[686]以不变应万变

2011年广东卷高考数学理科第21题(压轴题):

在平面直角坐标系xOy上,给定抛物线L:y=14x2.实数p,q满足p24q0x1,x2是方程x2px+q=0的两根,记φ(p,q)=max{|x1|,|x2|}
(1) 过点A(p0,14p20)(p00)作L的切线交y轴于点B.证明:对线段AB上的任一点Q(p,q),有φ(p,q)=12|p0|
(2) 设M(a,b)是定点,其中a,b满足a24b>0a0.过M(a,b)L的两条切线l1,l2,切点分别为E(p1,14p21)E(p2,14p22)l1,l2y轴分别交于F,F.线段EF上异于两端点的点集记为X.证明:M(a,b)X|p1|>|p2|φ(a,b)=12|p1|
(3) 记D={(x,y)yx1,y14(x+1)254},当(p,q)取遍D时,求φ(p,q)的最小值(记为φmin)和最大值(记为φmax).


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分析与解 (1)法一 显然A(p0,14p20)在抛物线L上,于是过点A的抛物线L的切线方程为y=12p0x14p20,p0>0,则线段AB的方程为y=12p0x14p20,0xp0,p0<0,则线段AB的方程为y=12p0x14p20,p0x0.又若p24q0,则方程x2px+q=0的两根为p±p24q2,若Q(p,q)在线段AB上,则q=12p0p14p20,从而p24q=(pp0)2,从而两根为x1,2=p±|pp0|2.p0>0时,0pp0,则φ(p,q)=max{|x1|,|x2|}=p02=|p0|2;p0<0时,p0p0,则φ(p,q)=max{|x1|,|x2|}=p02=|p0|2.因此原命题得证.

法二 过点A的抛物线L的切线方程为y=12p0x14p20,于是有q=12p0p14p20,从而考虑方程x2px+12p0p14p20=0的两根即可.
记方程左边为f(x),则有f(12p0)=0,f(12p0)=p0p>0.所以方程的一根为12p0,另一根x(12|p0|,12|p0|),从而知φ(p,q)=12|p0|

(2) 由题意知l1,l2的方程分别为l1:y=12p1x14p21,l2:y=12p2x14p22,联立解得点M的坐标为(a,b)=(p1+p22,p1p24).从而考虑方程x2p1+p22x+p1p24=0,它的两根为12p1,12p2,所以φ(a,b)=12max{|p1|,|p2|}
由此知|p1|>|p2|等价于φ(a,b)=12|p1|.下面证明当M(a,b)X与它们等价:
由(1)知M(a,b)X时,φ(a,b)=12|p1|
|p1|>|p2|,有|a||p1|+|p2|2<|p1|+|p1|2=|p1|,从而有M(a,b)X

(3) 如图,D表示直线y=x1与抛物线y=14(x+1)254所围成的封闭区域(包含边界),其中A(0,1)B(2,1)是直线与抛物线的两个交点.%e5%b1%8f%e5%b9%95%e5%bf%ab%e7%85%a7-2016-10-09-%e4%b8%8b%e5%8d%8812-43-07当点(p,q)D时,有14(p+1)254qp1,从而(p2)2p24q42p,其中0p2.于是有p+|p2|2φ(p,q)=p+p24q2p+42p2,从而φ(p,q)p+2p2=1,因此φmin=1

42p=t,其中t[0,2],则p+42p2=4t22+t2=(t1)2+5454,所以φmax=54

综上所述,φmin=1φmax=54

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