每日一题[683]构造与论证

2012年北京市海淀区高考二模理科数学第20题（压轴题）：

将一个正整数表示为$a_1+a_2+\cdots +a_p$($p\in\mathcal N^*$)的形式，其中$a_i\in\mathcal N^*$($i=1,2,\cdots ,p$)，且$a_1\leqslant a_2\leqslant \cdots \leqslant a_p$，记所有的这种表示法的种数为$f(n)$(如$4=4$，$4=1+3$，$4=2+2$，$4=1+1+2$，$4=1+1+1+1$，故$f(4)=5$)．
(1) 计算$f(3)$，$f(5)$；
(2) 求证：$2f(n+1)\leqslant f(n)+f(n+2)$，其中$n\in\mathcal N^*$；
(3) 当$n\geqslant 6$且$n\in\mathcal N^*$时，求证：$f(n)\geqslant 4n-13$．

分析与解　(1) $f(3)=3$，$f(5)=7$．

(2) 只需要证明 $$f(n+2)-f(n+1)\geqslant f(n+1)-f(n),n\in\mathcal N^*.$$ 注意到在$n$的所有表示法前加上“$1+$”就可以得到$n+1$的表示法中所有以$1$开头的表示法，因此$n+1$的表示法中以$1$为第一项的有$f(n)$种，不以$1$开头的有$f(n+1)-f(n)$种；

类似的，$n+2$的表示法中，不以$1$开头的有$f(n+2)-f(n+1)$种．

而在$n+1$的表示法中所有不以$1$开头的表示法中最后一项加上$1$就可以得到$n+2$的表示法中不以$1$开头的表示法，且这些表示法均不相同，因此命题得证．

(3) 当$n=6$时，有$f(6)=11$，命题成立．

接下来直接证明 $$n\geqslant 6,f(n+1)-f(n)\geqslant 4.$$ 而$n+1$的表示法中不以$1$开头的表示中包含 $$n+1;2,n-1;3,n-2;2,2,n-3.$$ 或者利用第(2)小题的结果，得到 $$f(n+1)-f(n)\geqslant f(6)-f(5)=4,$$

累加即得所证不等式．