每日一题[681]双剑合壁

正整数数列$\{a_n\}$满足对任意正整数$n$，均有$a_{a_n}+a_n=2n$，求$a_n$．

分析与解　令$n=1$，可得$a_1=1$；令$n=2$，有$a_{a_2}+a_2=4$，所以$1\leqslant a_2 \leqslant 3$．若$a_2=1$，则有$a_1+a_2=2\neq 4$，矛盾；若$a_2=3$，则有$a_3+3=4$，于是$a_3=1$，但$a_{a_3}+a_3=a_1+a_3=2\neq 6$，矛盾．因此$a_2=2$．

下面用数学归纳法证明$a_n=n$，$n\in\mathcal N^*$．

归纳假设　若$a_n=n$对$n=1,2,\cdots ,k-1$都成立．

递推证明　下面证明$a_k=k$．

若$a_k<k$，则根据归纳假设，有$a_{a_k}\leqslant k-1$，与$a_{a_k}+a_k=2k$矛盾；

若$a_k>k$，记$a_k=m$，则由$a_{a_k}+a_k=a_m+a_k=2k$可知 $$a_m=a_{a_k}=2k-a_k<k,$$ 从而由归纳假设$a_{a_m}\leqslant k-1$，与$a_{a_m}+a_m=2m>2k$矛盾．

综上所述，有$a_k=k$，因此原命题得证．