每日一题[680]内接与外切

已知抛物线$y^2=2px$的内接$\triangle ABC$的三条边所在的直线均与抛物线$x^2=2py$相切，求证：$A,B,C$三点的纵坐标之和为$0$．

分析与解　法一
设三边所在的直线分别为$l_1,l_2,l_3$，切点分别为$(x_1,y_1)$，$(x_2,y_2)$，$(x_3,y_3)$且$l_1,l_2$的交点为$C$，$l_2,l_3$的交点为$A$，$l_3,l_1$的交点为$B$，则 $$\begin{cases} l_1:2py=2x_1x-x_1^2,\\ l_2:2py=2x_2x-x_2^2,\\l_3:2py=2x_3x-x_3^2,\end{cases}$$ 于是有 $$A\left(\dfrac{x_2+x_3}2,\dfrac{x_2x_3}{2p}\right),B\left(\dfrac{x_3+x_1}2,\dfrac{x_3x_1}{2p}\right),C\left(\dfrac{x_1+x_2}2,\dfrac{x_1x_2}{2p}\right),$$ 进而由$A,B,C$均在抛物线上可得 $$\begin{cases}x_1^2x_2^2=4p^3(x_1+x_2),\\x_2^2x_3^2=4p^3(x_2+x_3),\\x_3^2x_1^2=4p^3(x_3+x_1),\end{cases}$$ 于是可得 $$x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=8p^3\left(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+\dfrac{1}{x_3}\right),$$ 即 $$\left(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1\right)\left(1-\dfrac{8p^3}{x_1x_2x_3}\right)=0,$$ 若$x_{1}x_2x_3=8p^3$，则将前面方程组中左右两边分别相乘可得 $$x_1^4x_2^4x_3^4=64p^9(x_1+x_2)(x_2+x_3)(x_3+x_1)=(8p^3)^3x_1x_2x_3,$$ 于是有 $$\begin{split} 8x_1x_2x_3=&(x_1+x_2)(x_2+x_3)(x_3+x_1)\\\geqslant &2\sqrt {x_1x_2}\cdot 2\sqrt{x_2x_3}\cdot 2\sqrt{x_3x_1}\\=&8x_1x_2x_3,\end{split}$$ 所以$x_1=x_2=x_3$，矛盾；
所以有$x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=0$，进而原命题得证．

法二　设$A(2pa^2,2pa),B(2pb^2,2pb),C(2pc^2,2pc)$，有$a^2\ne b^2\ne c^2$．从而直线$AB$的方程为 $$y-2pa=\dfrac{2pb-2pa}{2pb^2-2pa^2}(x-2pa^2)=\dfrac 1{a+b}(x-2pa^2),$$ 联立$AB$的方程与$x^2=2py$消去$y$得 $$x^2-\dfrac {2p}{a+b}x-\dfrac{4p^2ab}{a+b}=0.$$ 由$AB$与$x^2=2py$相切得判别式 $$\Delta _1=4p^2\dfrac{1}{(a+b)^2}+\dfrac {16p^2ab}{a+b}=0,$$ 整理得$1+4ab(a+b)=0$．同理有$1+4bc(b+c)=0$，两式相减得 $$4b(a-c)(a+c+b)=0,$$ 因为$b\ne 0,a\ne c$，所以$a+b+c=0$，命题得证．

注　也可以由$a,c$是方程$1+4bx(b+x)=0$的两根得到$a+c=-b$．