每日一题[675]神来之“函”

定义新运算$m*n=\dfrac{mn+1}{m+n}$，则$\left(\cdots \left(\left(100*99\right)*98\right)*\cdots *3\right)*2$的值是_______．

分析与解　$\dfrac{5051}{5049}$．

注意运算形式，有 $$m*n+1=\dfrac{(m+1)(n+1)}{m+n},m*n-1=\dfrac{(m-1)(n-1)}{m+n},$$ 于是 $$\dfrac{m*n+1}{m*n-1}=\dfrac{m+1}{m-1}\cdot\dfrac{n+1}{n-1},$$ 这就意味着若设$f(x)=\dfrac{x+1}{x-1}$，则有 $$f(m*n)=f(m)\cdot f(n).$$ 令所求式为$A$，则 $$f(A)=f(100)\cdot f(99)\cdots f(2)=\dfrac{101!}{99!\cdot 2!}=5050,$$ 于是可解得$A=\dfrac{5051}{5049}$．