每日一题[671]横看成岭

设实数$x,y,z$满足

$$\begin{cases} |x+2y-3z|\leqslant 6,\\ |x-2y+3z|\leqslant 6,\\ |x-2y-3z|\leqslant 6,\\ |x+2y+3z|\leqslant 6,\end{cases}$$ 则$|x|+|y|+|z|$的最大值为______．

---

分析与解　$6$．

法一　冻结变量
把$z$看成参数，有

$$\begin{cases} 3z-6\leqslant x+2y\leqslant 3z+6,\\ -3z-6\leqslant x-2y\leqslant -3z+6,\\ 3z-6\leqslant x-2y\leqslant 3z+6,\\ -3z-6\leqslant x+2y\leqslant -3z+6,\end{cases}$$ 根据对称性，不妨设$z\geqslant 0$．于是条件简化为 $$\begin{cases} 3z-6\leqslant x+2y\leqslant -3z+6,\\ 3z-6 \leqslant x-2y\leqslant -3z+6,\end{cases}$$ 该不等式组有解即$z\in [0,2]$，表示一个菱形及其内部($z=2$时退化为一个点)，如图． 于是可得 $$|x|+|y|+|z|\leqslant 6-3z+z=6-2z\leqslant 6,$$ 等号当$x=6$，$y=0$，$z=0$时取得．于是所求的最大值为$6$．

法二　不等式
由于

$$|x|+|y|+|z|\leqslant |x|+2|y|+3|z|,$$ 而右边必然为 $$|x+2y-3z|,|x-2y+3z|,|x-2y-3z|,|x+2y+3z|$$ 之一，于是 $$|x|+|y|+|z|\leqslant 6,$$ 当$x=6$，$y=0$，$z=0$时取得等号．因此所求的最大值为$6$．