每日一题[678]双弦

已知$P$为椭圆$E:\dfrac{x^2}4+y^2=1$的下顶点，过$P$作互相垂直的两条直线$l_1,l_2$，直线$l_1$与圆$x^2+y^2=4$相交于$A,B$两点，直线$l_2$与椭圆$E$交于不同于$P$的另外一点$Q$，求$\triangle QAB$面积的取值范围．

---

分析与解　设$Q(2\cos\theta,\sin\theta)$，则$\overrightarrow {PQ}$为直线$AB$的法向量，于是

$$AB:2\cos\theta\cdot x+(\sin\theta+1)\cdot y+\sin\theta +1=0,$$ 进而可得 $$\dfrac 12|AB|=\sqrt{4-\dfrac{(\sin\theta+1)^2}{(2\cos\theta)^2+(\sin\theta+1)^2}}=\dfrac{\sqrt{19+6\sin\theta-13\sin^2\theta}}{\sqrt{5+2\sin\theta-3\sin^2\theta}},$$ 而 $$|QP|=\sqrt{(2\cos\theta)^2+(\sin\theta+1)^2}=\sqrt{5+2\sin\theta-3\sin^2\theta},$$

于是$\triangle QAB$的面积

$$S_{\triangle QAB}=\sqrt{19+6\sin\theta-13\sin^2\theta},$$ 其取值范围是$\left(0,\sqrt{\dfrac{256}{13}}\right]$．

另法　当$AB$的斜率不存在时，$Q$不存在．设$AB$的方程为$y=kx-1$，于是点$O$到$AB$的距离$d=\dfrac{1}{\sqrt{1+k^2}}$，从而有

$$|AB|=2\sqrt{4-\dfrac 1{1+k^2}}.$$ 直线$PQ$的方程为$x+ky+k=0$，与椭圆方程联立消去$y$解得$x_Q=-\dfrac {8k}{k^2+4}$，于是 $$|PQ|=\sqrt{1+\dfrac{1}{k^2}}|x_Q|=\dfrac {8\sqrt{k^2+1}}{k^2+4}.$$ 对$k=0$也成立．

于是$\triangle QAB$的面积

$$\begin{split}S=&\dfrac 12|AB|\cdot|PQ|=\dfrac{8\sqrt{4k^2+3}}{k^2+4}=8\sqrt{\dfrac {4(k^2+4)-13}{(k^2+4)^2}}\\=&8\sqrt{-13\left(\dfrac {1}{k^2+4}-\dfrac{2}{13}\right)^2+\dfrac{4}{13}}\\\in&\left(0,\dfrac{16}{13}\sqrt{13}\right].\end{split}$$