已知P为椭圆E:x24+y2=1的下顶点,过P作互相垂直的两条直线l1,l2,直线l1与圆x2+y2=4相交于A,B两点,直线l2与椭圆E交于不同于P的另外一点Q,求△QAB面积的取值范围.
分析与解 设Q(2cosθ,sinθ),则→PQ为直线AB的法向量,于是AB:2cosθ⋅x+(sinθ+1)⋅y+sinθ+1=0,进而可得12|AB|=√4−(sinθ+1)2(2cosθ)2+(sinθ+1)2=√19+6sinθ−13sin2θ√5+2sinθ−3sin2θ,而|QP|=√(2cosθ)2+(sinθ+1)2=√5+2sinθ−3sin2θ,
于是△QAB的面积S△QAB=√19+6sinθ−13sin2θ,其取值范围是(0,√25613].
另法 当AB的斜率不存在时,Q不存在.设AB的方程为y=kx−1,于是点O到AB的距离d=1√1+k2,从而有|AB|=2√4−11+k2.直线PQ的方程为x+ky+k=0,与椭圆方程联立消去y解得xQ=−8kk2+4,于是|PQ|=√1+1k2|xQ|=8√k2+1k2+4.对k=0也成立.
于是△QAB的面积S=12|AB|⋅|PQ|=8√4k2+3k2+4=8√4(k2+4)−13(k2+4)2=8√−13(1k2+4−213)2+413∈(0,1613√13].