每日一题[678]双弦

已知P为椭圆E:x24+y2=1的下顶点,过P作互相垂直的两条直线l1,l2,直线l1与圆x2+y2=4相交于A,B两点,直线l2与椭圆E交于不同于P的另外一点Q,求QAB面积的取值范围.

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分析与解 设Q(2cosθ,sinθ),则PQ为直线AB的法向量,于是AB:2cosθx+(sinθ+1)y+sinθ+1=0,进而可得12|AB|=4(sinθ+1)2(2cosθ)2+(sinθ+1)2=19+6sinθ13sin2θ5+2sinθ3sin2θ,|QP|=(2cosθ)2+(sinθ+1)2=5+2sinθ3sin2θ,

于是QAB的面积SQAB=19+6sinθ13sin2θ,其取值范围是(0,25613]

另法 当AB的斜率不存在时,Q不存在.设AB的方程为y=kx1,于是点OAB的距离d=11+k2,从而有|AB|=2411+k2.直线PQ的方程为x+ky+k=0,与椭圆方程联立消去y解得xQ=8kk2+4,于是|PQ|=1+1k2|xQ|=8k2+1k2+4.k=0也成立.

于是QAB的面积S=12|AB||PQ|=84k2+3k2+4=84(k2+4)13(k2+4)2=813(1k2+4213)2+413(0,161313].

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