每日一题[659]萝卜青菜各有所爱

在$\triangle ABC$中，$a,b,c$为等差数列，若$A-C=\dfrac{\pi}2$，求$a:b:c$．

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分析与解　角思路
根据题意，由正弦定理得有

$$2\sin (A+C)=\sin A+\sin C,$$ 进而可得 $$\cos C-\sin C=\dfrac 12,$$ 于是解得 $$\sin C=\dfrac{\sqrt 7-1}4,\cos C=\dfrac{\sqrt 7+1}4,$$ 进而可得 $$\sin B=\sin (A+C)=\cos^2 C-\sin^2 C=\dfrac{\sqrt 7}4,$$ 于是由正弦定理 $$a:b:c=\sin A:\sin B:\sin C,$$ 从而 $$a:b:c=(\sqrt 7+1):\sqrt 7:(\sqrt 7-1).$$

边思路　
不妨设$a,b,c$分别为$x+1,x,x-1$，则

$$\cos A=\dfrac{x^2+(x-1)^2-(x+1)^2}{2x(x-1)}=\dfrac{x-4}{2(x-1)},$$ 而 $$\cos C=\dfrac{x^2+(x+1)^2-(x-1)^2}{2x(x+1)}=\dfrac{x+4}{2(x+1)},$$ 根据题意，有 $$\cos^2A +\cos^2 C=1,$$ 于是 $$\left(\dfrac{x-4}{x-1}\right)^2+\left(\dfrac{x+4}{x+1}\right)^2=4,$$ 整理得 $$(x^2-7)(x^2+2)=0,$$ 解得$x=\sqrt 7$．
于是 $$a:b:c=(\sqrt 7+1):\sqrt 7:(\sqrt 7-1).$$