每日一题[660]遥遥相望

若关于$x$的三次方程$x^3+ax^2+bx+c=0$有三个不同的实数根$x_1,x_2,x_3$，且$x_1< x_2< x_3$，$a,b$为常数，当$c$变化时，求$x_3-x_1$的取值范围．

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分析与解　设$f(x)=x^3+ax^2+bx$，则$f(x)$的图象与直线$y=-c$的公共点与原三次方程的根对应．函数$f(x)$的导函数

$$f'(x)=3x^2+2ax+b,$$ 根据题意，$f(x)$有两个极值点，于是$a^2-3b>0$，且极值点为 $$x=\dfrac{-a\pm\sqrt{a^2-3b}}3,$$ 进而可得 $$\dfrac{-a-\sqrt{a^2-3b}}3< x_2<\dfrac{-a+\sqrt{a^2-3b}}3.$$ 根据三次方程的韦达定理，有 $$x_1+x_2+x_3=-a,x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=b,$$ 于是 $$\begin{split} x_3-x_1&=\sqrt{\left(x_3+x_1\right)^2-4x_1x_3}\\ &=\sqrt{\left(-a-x_2\right)^2-4\left[b-(-a-x_2)x_2\right]}\\ &=\sqrt{-3x_2^2-2ax_2+a^2-4b}\\ &=\sqrt{-3\left(x_2+\dfrac a3\right)^2+a^2-4b+\dfrac {a^2}3} ,\end{split}$$ 结合$x_2$的取值范围，可得 $$0\leqslant \left(x_2+\dfrac a3\right)^2< \dfrac{a^2-3b}9,$$ 进而$x_3-x_1$的取值范围是$\left(\sqrt{a^2-3b},\sqrt{\dfrac {4(a^2-3b)}3}\ \right]$．