每日一题[661]曲线系与仿射变换

已知椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+y^2=1(a>1)$的离心率为$\dfrac{\sqrt 3}2$，$P(m,n)$为圆$x^2+y^2=16$上任意一点，过$P$作椭圆的两条切线$PA,PB$．设切点分别为$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$．
(1) 证明：切线$PA$的方程为$\dfrac{x_1x}4+y_1y=1$；
(2) 设$O$为坐标原点，求$\triangle ABO$面积的最大值．

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分析与解　(1) 椭圆的方程为$\dfrac{x^2}4+y^2=1$．设点$A$的方程为

$$\dfrac{\left(x-x_1\right)^2}4+\left(y-y_1\right)^2=0,$$ 利用交点曲线系可得切线$PA$的方程为 $$\left(\dfrac{x^2}4+y^2-1\right)-\left[\dfrac{\left(x-x_1\right)^2}4+\left(y-y_1\right)^2\right]=0,$$ 整理得 $$\dfrac{2x_1x}4+2y_1y=\dfrac{x_1^2}4+y_1^2+1,$$ 由于$\dfrac{x_1^2}4+y_1^2=1$，可得 $$PA:\dfrac{x_1x}4+y_1y=1.$$

(2) 作仿射变换$x'=x$，$y'=2y$，则问题等价于从椭圆$x'^2+\dfrac{y'^2}4=16$上点$P'(m,2n)$引圆$x'^2+y'^2=4$的两条切线，切点分别为$A',B'$，求$\triangle A'B'O$的面积的最大值的一半．$\triangle A'B'O$的面积$S$只与$P'O$有关，设$P'O=x$($x\in [4,8]$)，则

$$S(x)=\dfrac 4x\cdot\sqrt{2^2-\left(\dfrac 4x\right)^2}=\sqrt{\left(\dfrac 4x\right)^2\cdot\left[4-\left(\dfrac 4x\right)^2\right]},$$ 由于$\left(\dfrac 4x\right)^2$的取值范围是$\left[\dfrac 14,1\right]$，于是$S(x)$的取值范围是$\left[\dfrac{\sqrt {15}}4,\sqrt 3\right]$，其最大值为$\sqrt 3$．回到原问题，所求$\triangle ABO$的面积的最大值为$\dfrac{\sqrt 3}2$．

注　由曲线系得到的方程是过点$P$的直线，且椭圆上不存在另外一个点也在此直线上，所以它是切线$PA$的方程．