每日一题[661]曲线系与仿射变换

已知椭圆x2a2+y2=1(a>1)的离心率为32P(m,n)为圆x2+y2=16上任意一点,过P作椭圆的两条切线PA,PB.设切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2)
(1) 证明:切线PA的方程为x1x4+y1y=1
(2) 设O为坐标原点,求ABO面积的最大值.


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分析与解 (1) 椭圆的方程为x24+y2=1.设点A的方程为(xx1)24+(yy1)2=0,利用交点曲线系可得切线PA的方程为(x24+y21)[(xx1)24+(yy1)2]=0,整理得2x1x4+2y1y=x214+y21+1,由于x214+y21=1,可得PA:x1x4+y1y=1.

(2) 作仿射变换x=xy=2y,则问题等价于从椭圆x2+y24=16上点P(m,2n)引圆x2+y2=4的两条切线,切点分别为A,B,求ABO的面积的最大值的一半.ABO的面积S只与PO有关,设PO=x(x[4,8]),则S(x)=4x22(4x)2=(4x)2[4(4x)2],由于(4x)2的取值范围是[14,1],于是S(x)的取值范围是[154,3],其最大值为3.回到原问题,所求ABO的面积的最大值为32

 由曲线系得到的方程是过点P的直线,且椭圆上不存在另外一个点也在此直线上,所以它是切线PA的方程.

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每日一题[661]曲线系与仿射变换》有一条回应

  1. bjergsen说:

    兰老,请问一下a的方程怎么出来的,还有交点曲线系的那后面的系数怎么来的,谢谢

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