已知椭圆x2a2+y2=1(a>1)的离心率为√32,P(m,n)为圆x2+y2=16上任意一点,过P作椭圆的两条切线PA,PB.设切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2).
(1) 证明:切线PA的方程为x1x4+y1y=1;
(2) 设O为坐标原点,求△ABO面积的最大值.
分析与解 (1) 椭圆的方程为x24+y2=1.设点A的方程为(x−x1)24+(y−y1)2=0,利用交点曲线系可得切线PA的方程为(x24+y2−1)−[(x−x1)24+(y−y1)2]=0,整理得2x1x4+2y1y=x214+y21+1,由于x214+y21=1,可得PA:x1x4+y1y=1.
(2) 作仿射变换x′=x,y′=2y,则问题等价于从椭圆x′2+y′24=16上点P′(m,2n)引圆x′2+y′2=4的两条切线,切点分别为A′,B′,求△A′B′O的面积的最大值的一半.△A′B′O的面积S只与P′O有关,设P′O=x(x∈[4,8]),则S(x)=4x⋅√22−(4x)2=√(4x)2⋅[4−(4x)2],由于(4x)2的取值范围是[14,1],于是S(x)的取值范围是[√154,√3],其最大值为√3.回到原问题,所求△ABO的面积的最大值为√32.
注 由曲线系得到的方程是过点P的直线,且椭圆上不存在另外一个点也在此直线上,所以它是切线PA的方程.
兰老,请问一下a的方程怎么出来的,还有交点曲线系的那后面的系数怎么来的,谢谢