每日一题[77]何以解忧？唯有参方

已知椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率为$\dfrac{\sqrt 3}2$，直线$y=\dfrac{1}{2}x+1$与椭圆交于$A$、$B$两点，点$M$在椭圆上，$\overrightarrow{OM}=\dfrac 12\overrightarrow{OA}+\dfrac{\sqrt 3}2 \overrightarrow{OB}$，求椭圆方程．

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由于离心率为$\dfrac{\sqrt 3}2$，于是$a^2=4b^2$，因此可设点$A$、$B$的坐标分别为$A\left(2b\cos\alpha,b\sin\alpha\right)$，$B\left(2b\cos\beta,b\sin\beta\right)$．

于是由$\overrightarrow{OM}=\dfrac 12\overrightarrow{OA}+\dfrac{\sqrt 3}2 \overrightarrow{OB}$可得

$$M\left(b\cdot\left(\cos\alpha+\sqrt 3\cos\beta\right),b\left(\dfrac 12\sin\alpha+\dfrac{\sqrt 3}2\sin\beta\right)\right),$$ 点$M$在椭圆上，于是可得 $$\dfrac{\left(\cos\alpha+\sqrt 3\cos\beta\right)^2}{4}+\dfrac{\left(\sin\alpha+\sqrt 3\sin\beta\right)^2}{4}=1,$$ 化简得 $$\cos\left(\alpha-\beta\right)=0.$$

另一方面，点$A$在直线$y=\dfrac 12x+1$上，可得

$$b\sin\alpha=\dfrac{1}{2}\cdot2b\cos\alpha+1,$$ 即 $$\dfrac 1b=\sin\alpha-\cos\alpha,$$ 类似的，有 $$\dfrac 1b=\sin\beta-\cos\beta.$$

因此有

$$\begin{split}\dfrac{1}{b^2}&=\left(\sin\alpha-\cos\alpha\right)\left(\sin\beta-\cos\beta\right)\\&=\cos\left(\alpha-\beta\right)-\sin\left(\alpha+\beta\right)\\&=-\sin\left(\alpha+\beta\right).\end{split}$$

而同时

$$\sin\alpha-\sin\beta=\cos\alpha-\cos\beta,$$ 和差化积，可得 $$\tan{\dfrac{\alpha+\beta}{2}}=-1,$$ 代入上式，可得 $$b^2=1,$$ 于是所求的椭圆方程为 $$\dfrac{x^2}{4}+y^2=1.$$