(2012年北京八中高二期末考试)已知f(x)=8x3+ax2+bx,是否存在实数a,b,使得对任意x∈[−1,1],均有|f(x)|⩽2.若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.
分析与解 根据题意,有{f(1)=a+b+8,f(−1)=a−b−8,f(12)=14a+12b+1,f(−12)=14a−12b−1,于是{a=12f(1)+12f(−1)=2f(12)+2f(−12),b=12f(1)−12f(−1)−8=f(12)−f(−12)−2.由第二个等式可得12f(1)−12f(−1)−f(12)+f(−12)=6,而12f(1)−12f(−1)−f(12)+f(−12)⩽12|f(1)|+12|f(−1)|+|f(12)|+|f(−12)|⩽6,等号当且仅当f(1)=f(−12)=2,f(−1)=f(12)=−2时取得,因此a=0,b=−6.思考与总结 先构造出符合题意的三次函数,再根据图形的特征进行论证.