每日一题[651]先构造 再论证

(2012年北京八中高二期末考试)已知f(x)=8x3+ax2+bx,是否存在实数a,b,使得对任意x[1,1],均有|f(x)|2.若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.


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分析与解 根据题意,有{f(1)=a+b+8,f(1)=ab8,f(12)=14a+12b+1,f(12)=14a12b1,于是{a=12f(1)+12f(1)=2f(12)+2f(12),b=12f(1)12f(1)8=f(12)f(12)2.由第二个等式可得12f(1)12f(1)f(12)+f(12)=6,12f(1)12f(1)f(12)+f(12)12|f(1)|+12|f(1)|+|f(12)|+|f(12)|6,等号当且仅当f(1)=f(12)=2f(1)=f(12)=2时取得,因此a=0b=6
屏幕快照 2016-08-30 下午1.22.35思考与总结 先构造出符合题意的三次函数,再根据图形的特征进行论证.

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