每日一题[651]先构造 再论证

(2012年北京八中高二期末考试)已知$f(x)=8x^3+ax^2+bx$，是否存在实数$a,b$，使得对任意$x\in [-1,1]$，均有$|f(x)|\leqslant 2$．若存在，求出$a,b$的值；若不存在，请说明理由．

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分析与解　根据题意，有

$$\begin{cases} f(1)=a+b+8,\\ f(-1)=a-b-8,\\ f\left(\dfrac 12\right)=\dfrac 14a+\dfrac 12b+1,\\ f\left(-\dfrac 12\right)=\dfrac 14a-\dfrac 12b-1,\end{cases}$$ 于是 $$\begin{cases} a=\dfrac 12f(1)+\dfrac 12f(-1)=2f\left(\dfrac 12\right)+2f\left(-\dfrac 12\right),\\ b=\dfrac 12f(1)-\dfrac 12f(-1)-8=f\left(\dfrac 12\right)-f\left(-\dfrac 12\right)-2.\end{cases}$$ 由第二个等式可得 $$\dfrac 12f(1)-\dfrac 12f(-1)-f\left(\dfrac 12\right)+f\left(-\dfrac 12\right)=6,$$ 而 $$\dfrac 12f(1)-\dfrac 12f(-1)-f\left(\dfrac 12\right)+f\left(-\dfrac 12\right)\leqslant \dfrac 12\left|f(1)\right|+\dfrac 12\left|f(-1)\right|+\left|f\left(\dfrac 12\right)\right|+\left|f\left(-\dfrac 12\right)\right|\leqslant 6,$$ 等号当且仅当$f(1)=f\left(-\dfrac 12\right)=2$，$f(-1)=f\left(\dfrac 12\right)=-2$时取得，因此$a=0$，$b=-6$．
思考与总结　先构造出符合题意的三次函数，再根据图形的特征进行论证．