每日一题[646]逃不出的五指山

设函数$f(x)=x^2+ax+b$($a,b\in\mathcal R$)，已知当$|x|\leqslant 1$时，$|f(x)|\leqslant 1$恒成立，则$a-3b$的取值范围是_______．

分析与解　注意到 $$f\left(-\dfrac 13\right)=\dfrac 19-\dfrac 13(a-3b),$$ 于是$a-3b=\dfrac 13-3f\left(-\dfrac 13\right)$，因此只要求出$f\left(-\dfrac 13\right)$的取值范围，就求出了$a-3b$的取值范围．我们猜测$f\left(-\dfrac 13\right)$的最小值和最大值分别如下左图和右图时取得（注意，因为$x^{2}$前面的系数确定，所以抛物线形状固定，只能左右或上下平移）．接下来，我们进行论证．显然有$f\left(-\dfrac 13\right)\geqslant -1$，且当$f(x)=\left(x+\dfrac 13\right)^2-1$时等号可以取得，这样就得到了$a-3b\leqslant \dfrac {10}3$．而对于$a-3b$的最小值，注意到此时$f(1)=f(-1)=1$，因此抓住这点进行论证．事实上，有 $$\begin{cases} f(1)=1+a+b,\\ f(-1)=1-a+b,\end{cases}$$ 因此$a=\dfrac 12f(1)-\dfrac 12f(-1)$，$b=\dfrac 12f(1)+\dfrac 12f(-1)-1$，从而 $$a-3b=-f(1)-2f(-1)+3\geqslant -1-2+3=0,$$ 等号当$f(x)=x^2$时可以取得．

综上所述，当$a=\dfrac 23$，$b=-\dfrac 89$时，$a-3b$取得最大值$\dfrac{10}3$；当$a=b=0$时，$a-3b$取得最小值$0$．结合连续性，$a-3b$的取值范围为$\left[0,\dfrac{10}3\right]$．

思考与总结　将$a-3b$的取值范围转化为$f\left(-\dfrac 13\right)$的取值范围，使得我们可以直观感受到其变化，再严格论述即可．