若存在a∈R,使关于x的不等式x|x−a|<m在[0,1]上恒成立,则实数m的取值范围是_______.
分析与解 问题的关键在于求出当a∈R,x∈[0,1]时,函数f(x)=x|x−a|的最大值M(a)的最小值.易知M(a)={max{f(a2),f(1)},a∈[0,2],f(1),a∈(−∞,0)∪(2,+∞).如图,当0<a<2且f(a2)=f(1)时,函数M(a)取得最小值.此时a24=1−a,解得a=−2+2√2,于是M(a)的最小值为3−2√2,进而实数m的取值范围是(3−2√2,+∞).
注 本题关键在于仔细读题,理解实数m的真实含义.